Fonctions exponentielles

Définition de la fonction exponentielle

Pour $a > 0$ fixé, la fonction exponentielle de base $a$ est la fonction $\exp_a : x \mapsto a^x$.

Elle est définie et positive sur $\mathbb{R}$   $\exp_a(0) = 1$.

Propriétés de dérivabilité et monotonie

Elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa monotonie dépend de la valeur de $a$ :

• pour $0 < a < 1$, la fonction est décroissante sur $\mathbb{R}$.
• pour $a = 1$, la fonction est constante sur $\mathbb{R}$.
• pour $a > 1$, la fonction est croissante sur $\mathbb{R}$.

Propriétés algébriques

Pour tous les $x$ et $y$ réels, et $n$ entier relatif, nous avons les relations suivantes :

Racine $n$-ième d'un réel positif

Pour un réel $a > 0$ et $n$ un entier naturel non nul, la solution positive de l'équation $x^n = a$ est $x = a^{\frac{1}{n}}$ que l'on peut calculer à la calculatrice.

On résout ce type d'équation pour calculer un taux d'évolution moyen associé à des évolutions successives dont le taux est donné.

Représentations graphiques selon les valeurs de $a > 0$

Les graphiques varient selon la valeur de $a$ : $a = 1$   $0 < a = 0,3 < 1$   $a = 2 > 1$