Primitives et équations différentielles

Définition

On considère une fonction $f$ continue sur l'intervalle $I$. La fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$ si pour tout $x \in I$, $F'(x) = f(x)$.

L'ensemble des primitives de la fonction $f$ sur $I$ est alors composé des fonctions définies sur $I$ par $F(x) + k$ avec $k$ un nombre réel.

Exemple

Les primitives de la fonction $f$ définies par $f(x) = x^2$ sur $]- \infty ; + \infty[$ sont les fonctions $\displaystyle F(x) = \frac{x^3}{3} + k$ avec $k$ un nombre réel.

Théorème

Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives.

Tableau de primitives

Primitives usuelles

Ce tableau présente les primitives des fonctions les plus couramment utilisées en mathématiques. Une primitive d'une fonction $f$ est une fonction $F$ telle que $F'(x) = f(x)$.

Fonctions de base

Les premières lignes du tableau montrent les primitives des fonctions élémentaires comme les constantes, les puissances, l'inverse, et l'exponentielle. Chaque primitive est définie sur un intervalle spécifique selon les contraintes de la fonction.

Primitives composées

Les dernières lignes présentent des primitives de fonctions composées utilisant la règle de dérivation en chaîne. Ces formules sont particulièrement utiles pour calculer des primitives plus complexes où $u$ représente une fonction dérivable.

Équations différentielles du premier ordre sans second membre

C'est une équation d'inconnue une fonction $y$ dérivable qui s'écrit sous la forme :

$$y' + ay = 0$$

où $a$ est un nombre réel non nul.

Solutions générales

Les solutions sont définies sur $\mathbb{R}$ par :

$$y(x) = \lambda \mathrm e^{-ax}$$

où $\lambda$ est un nombre réel.

À l'aide d'une condition initiale, on peut déterminer $\lambda$ et la solution sera unique.

Équations différentielles du premier ordre avec second membre constant

C'est une équation d'inconnue une fonction $y$ dérivable qui s'écrit sous la forme :

$$y' + ay = b$$

où $a$ et $b$ sont des nombres réels, $a$ non nul.

Solutions générales

Les solutions sont définies sur $\mathbb{R}$ par :

$$\displaystyle y(x) = \lambda \mathrm e^{-ax} + \frac{b}{a}$$

où $\lambda$ est un nombre réel.

À l'aide d'une condition initiale, on peut déterminer $\lambda$ et la solution sera unique.