Nombres complexes : point de vue géométrique

Définition

Un nombre complexe non nul $z$ est écrit sous forme trigonométrique lorsque :

$z = r(\mathrm{cos}(\theta) + i \mathrm{sin}(\theta))$
où $r \in {\mathbb{R}}_+^*$ et $\theta \in \mathbb{R}$.

Module et argument

$r$ est le module de $z$, noté $\mid z \mid$. Il s'agit toujours d'un réel strictement positif car, géométriquement, c'est la distance entre l'origine $\mathrm{O}$ et le point $\mathrm{M}$ d'affixe $z$.

$\theta$ est un argument de $z$, noté $\mathrm{arg}(z)$. Il est défini à $2 \pi$ près (modulo $2\pi$) et, géométriquement, c'est la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{u}~ ;~ \overrightarrow{\mathrm{OM}})$ (en radians) dans le repère orthonormal direct $(\mathrm{O}~ ;~ \vec{u}~ ;~ \vec{v})$.

Propriétés

Pour tous les nombres complexes ${z}_1$ et ${z}_2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a :

Propriétés du produit

• Module du produit : $\mid {z}_1 \times {z}_2∣ = \mid {z}_1 \mid \times \mid {z}_2 \mid$
• Argument du produit : $\mathrm{arg}({z}_1 \times {z}_2) = \mathrm{arg}({z}_1) + \mathrm{arg}({z}_2) (2 \pi)$

Propriétés de la puissance

• Module de la puissance : $\mid {{z}_1}^{n} \mid = {\mid {z}_1 \mid}^{n}$
• Argument de la puissance : $\mathrm{arg}({{z}_1}^{n}) = n \times \mathrm{arg}({z}_1) (2 \pi)$

Relation module-conjugué

Pour un nombre complexe $z$, on a : $\mid z\mid ^2 = z \bar{z}$.

Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique

Pour $z = a + bi \neq 0$, nous devons calculer le module et l'argument du nombre complexe.

Calcul du module

Le module $r$ se calcule avec la formule :

$$r = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Calcul de l'argument

L'argument $\theta$ est déterminé par les relations :

$$\cos(\theta) = \frac{a}{r} \text{ et } \sin(\theta) = \frac{b}{r}$$

On utilise ensuite le cercle trigonométrique pour déterminer $\theta$ (à $2\pi$ près).

Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique

Pour $z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$, nous pouvons retrouver les parties réelle et imaginaire.

Calcul des parties réelle et imaginaire

Les coordonnées cartésiennes sont données par :

$$a = r \cos(\theta) \text{ et } b = r \sin(\theta)$$

Image et affixe

Soit $z = a+bi$ un nombre complexe, où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

Définitions

L'image du nombre complexe $z$ est le point $\mathrm{M}(a~;~b)$.

Réciproquement, l'affixe du point $\mathrm{M}(a~;~b)$ est le nombre complexe $z=a+bi$.

Relation fondamentale

Ce que l'on peut résumer en :

$\mathrm{M}$ est l'image de $z$ $\Leftrightarrow$ $z$ est l'affixe de $\mathrm{M}$.

Extension aux vecteurs

L'affixe du vecteur $\vec{u}(a~;~b)$ est le nombre complexe $z=a+bi$.