Nombres complexes et trigonométrie

Formules d'addition du cosinus et du sinus

Pour $a$ et $b$ deux réels, nous avons les formules d'addition suivantes :

Addition et soustraction du cosinus

$\cos(a + b) = \cos(a) \cos(b) - \sin(a) \sin(b)$

$\cos(a - b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b)$

Addition et soustraction du sinus

$\sin(a + b) = \sin(a) \cos(b) + \sin(b) \cos(a)$

$\sin(a - b) = \sin(a) \cos(b) - \sin(b) \cos(a)$

Formules de duplication du cosinus et du sinus

Pour un réel $a$, nous obtenons les formules de duplication :

Duplication du cosinus

$\cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a) = 2\cos^2(a) - 1 = 1 - 2\sin^2(a)$

Duplication du sinus

$\sin(2a) = 2 \cos(a) \sin(a)$

Formules de linéarisation

On a donc les formules de linéarisation suivantes :

$\displaystyle \cos^2(a) = \frac{\cos(2a) + 1}{2}$

$\displaystyle \sin^2(a) = \frac{1 - \cos(2a)}{2}$

Propriétés de l'exponentielle imaginaire

Forme exponentielle d'un nombre complexe

Un nombre complexe non nul $z$ est écrit sous forme exponentielle lorsque :

$z = r\mathrm e^{i\theta}$, où $r \in \:{\mathbb{R}}_+^*$ et $\theta \in \:]-\pi~ ;~ \pi]$.

Dans cette expression, $r$ est le module de $z$ et $\theta$ l'argument de $z$.

Propriétés fondamentales

Pour tous nombres réels $\theta$ et $\theta '$, et tout entier relatif $n$ :

• Addition des arguments : $\mathrm e^{i(\theta + \theta ')} = \mathrm e^{i\theta} \times \mathrm e^{i\theta '}$
• Puissance : ${(\mathrm e^{i\theta})}^n = \mathrm e^{ in\theta}$
• Conjugué : $\overline{\mathrm e^{i\theta}} = \mathrm e^{-i\theta} = \displaystyle \frac{1}{\mathrm e^{i\theta}}$
• Division : $\mathrm e^{i(\theta - \theta ')} = \displaystyle \frac{\mathrm e^{i\theta}}{\mathrm e^{i\theta '}}$

Formules d'Euler

Pour tout nombre réel $\theta$, les formules d'Euler permettent d'exprimer les fonctions trigonométriques à l'aide de l'exponentielle complexe :

Cosinus : $\displaystyle \cos(\theta) = \frac{\mathrm e^{i\theta} +\mathrm e^{-i\theta}}{2}$

Sinus : $\displaystyle \sin(\theta) = \frac{\mathrm e^{i\theta} - \mathrm e^{-i\theta}}{2i}$

Formule de Moivre

Pour tout nombre réel $\theta$ et tout entier relatif $n$, la formule de Moivre s'énonce :

${(\mathrm e^{i\theta})}^n = \mathrm e^{ in\theta}$

Cette formule peut également s'écrire sous la forme trigonométrique :

$(\cos(\theta) + i\sin(\theta))^n = \cos(n\theta) +i\sin(n\theta)$