Matrices

Addition et soustraction de deux matrices

L'addition et la soustraction de matrices s'effectuent élément par élément, à condition que les matrices aient les mêmes dimensions.

Exemple sur des matrices de rang 2

Pour $a$, $b$, $c$, $d$, $a'$, $b'$, $c'$ et $d'$ huit nombres réels :

Addition :

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a' & b' \\ c' & d' \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a + a' & b + b' \\ c + c' & d + d' \\ \end{bmatrix}$

Soustraction :

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} a' & b' \\ c' & d' \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a - a' & b - b' \\ c - c' & d - d' \\ \end{bmatrix}$

Multiplication d'une matrice par un réel

La multiplication d'une matrice par un scalaire consiste à multiplier chaque élément de la matrice par ce nombre réel.

Exemple sur des matrices de rang 2

Pour $a$, $b$, $c$, $d$ et $k$ cinq nombres réels :

$k \times \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}k\times a & k\times b \\ k\times c & k\times d \\ \end{bmatrix}$

Produit de matrices

Pour $a$, $b$, $c$, $d$, $a'$, $b'$, $c'$ et $d'$ huit nombres réels, le produit de matrices se calcule de la manière suivante :

$$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} a' & b' \\ c' & d' \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a a' + bc' & ab' + bd' \\ ca' + dc' & cb' + dd' \\ \end{bmatrix}$$

Matrice inverse

Pour une matrice $\rm A$ carrée de dimensions $n \times n$, si elle existe on note ${\mathrm{A}}^{-1}$ la matrice inverse de $\rm A$. Cette matrice inverse est définie comme la matrice qui vérifie la propriété suivante :

$$\rm A \times A^{-1} = \rm A^{-1} \times A = I_{n}$$

où $I_n$ représente la matrice identité de dimension $n \times n$.

Matrice puissance

Pour une matrice $\rm A$ carrée de dimensions $n \times n$ et $p$ un entier naturel non nul, on définit la matrice puissance comme suit :

$$\rm A^p = A \times A \times \ldots \times A$$

Cette expression représente le produit de la matrice $\rm A$ par elle-même $p$ fois, et on l'appelle la matrice « $\rm A$ puissance $p$ ».

Résolution de systèmes d'équations par calcul matriciel

Pour résoudre un système de $n$ équations à $n$ inconnues, on peut se ramener à effectuer du calcul matriciel.

Exemple pratique

Pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues du type :

$ax + by = \alpha$ et $cx + dy = \beta$

On se ramène à résoudre l'équation matricielle :

$\rm A \times X = Y$ avec :

• $\rm A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}$ (matrice des coefficients)
• $\rm X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}$ (vecteur des inconnues)
• $\rm Y = \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \end{bmatrix}$ (vecteur des termes constants)

Solution du système

Si la matrice $\rm A$ est inversible, l'unique solution du système d'équations est :

$\rm X = A^{-1} \times Y$

Suites de matrices récurrentes

Soit (${\mathrm{U}}_n$) une suite de matrices qui vérifient ${\mathrm{U}}_{n+1}$ = $\rm A \times U_{n} + C$ pour tout $n$ entier naturel, où $\rm A$ et $\rm C$ sont deux matrices carrées.

Dans les exercices, on remarquera que si la suite ($\mathrm U_n$) converge, elle converge vers la matrice $\rm U$ telle que $\rm U = A \times U + C$, que l'on déterminera.

Démonstration de la convergence

En effet, si la matrice $\rm U$ vérifie $\rm U = A \times U + C$, on a pour tout entier naturel $n$ :

$\mathrm {U}_{n+1} - \rm U$ $= \mathrm A \times \mathrm U_n + \rm C - U$
$\mathrm {U}_{n+1} - \rm U$ $\mathrm {= A} \times \mathrm U_{n} + \rm C - (A\times U + C)$ par définition de $\rm U$.
$\mathrm {U}_{n+1} - \rm U$ $ = \mathrm A \times (\mathrm U_{n} - \mathrm U)$

Formule générale par récurrence

On montre ensuite par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :

$\mathrm U_{n} - \mathrm U$ $ = \mathrm A^{n} \times \rm (U_0 - U)$

Condition de convergence

Si la suite de matrices $(\mathrm A^n)$ tend vers la matrice nulle quand $n$ tend vers $+\infty$, $(\mathrm U_n)$ tendra vers $\rm U$ quand $n$ tend vers $+\infty$.