Loi de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire dont l'univers associé peut être résumé à deux choix que l'on nommera « succès » et « échec » de probabilités respectives $p$ et $q=1-p$.
La variable aléatoire $\rm X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ (avec $p\in ]0 ;1[$) si :
- $\rm P(X=0)=1-p$
- $P(X=1)=p$
On note $\mathrm X\sim \mathcal{B}(p)$.
Caractéristiques de la loi de Bernoulli
- Espérance : $\mathrm{E(X)}=p$
- Variance : $\mathrm{V(X)}=p(1-p)$
- Écart-type : $\sigma(\mathrm X)=\sqrt{p(1-p)}$
Loi binomiale
Lorsque l'on répète des épreuves de Bernoulli identiques $n$ fois avec des résultats indépendants les uns des autres, on obtient un schéma de Bernoulli.
La variable aléatoire $\rm X$, comptant le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli, suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ (avec $n\in\mathbb N^*$ et $p\in ]0~ ;1[$) si :
Pour tout $k\in [|0,n|]$, $$\mathrm{P(X}=k) = \Big(\begin{array}{ll}n\\k \end{array}\Big) p^k(1-p)^{n-k} = \mathrm C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$$
On note $X\sim \mathcal{B}(n,p)$.
Caractéristiques de la loi binomiale
- Espérance : $\mathrm{E(X)}=np$
- Variance : $\mathrm{V(X)}=np(1-p)=npq$
- Écart-type : $\sigma(\mathrm X)=\sqrt{npq}$
Coefficients binomiaux
Les coefficients binomiaux sont définis par les formules suivantes :
- $\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p\end{matrix}\Big)=\frac{n !}{p !(n-p) !}$
- $\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\0\end{matrix}\Big)=1$
- $\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\1\end{matrix}\Big)=n$
- $\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\n\end{matrix}\Big)=1$
- $\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p\end{matrix}\Big)=\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\n-p\end{matrix}\Big)$ (propriété de symétrie)
Formule du triangle de Pascal
La formule du triangle de Pascal permet de calculer les coefficients binomiaux de manière récursive :
$$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n+1\\p\end{matrix}\Big)=\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p\end{matrix}\Big)+\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p-1\end{matrix}\Big)$$
