Intégration

Définition

On considère une fonction $f$ continue sur l'intervalle $[a~ ;~ b]$ ($a < b$) et on note $\rm F$ une de ses primitives. On a :

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = [\mathrm F(x)]_{a}^{b} = \mathrm F(b) - \mathrm F(a)$$

Exemple

La fonction $f$ définie par $f(x) = 2{x}^2$ est continue sur l'intervalle $[0~ ;~ 2]$ et une de ses primitives sur cet intervalle est la fonction $\rm F$ définie par $\mathrm F(x) = \frac{2{x}^3}{3}$.

$\int_0^2 f(x) \mathrm dx = \left[\frac{2{x}^3}{3}\right]_0^2 = \frac{16}{3}$

Propriétés

Pour $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l'intervalle $[a~ ;~b]$ ($a < c < b$) et un réel $k$ :

Linéarité de l'intégrale

Additivité : $\int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) \mathrm dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) \mathrm dx$

Homogénéité : $\int_{a}^{b} k f(x) \mathrm dx = k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm dx$

Relation de Chasles

$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm dx = \int_{a}^{c} f(x) \mathrm dx + \int_{c}^{b} f(x) \mathrm dx$

Propriétés de comparaison

• Positivité : $f(x) > 0$ sur $[a~ ;~ b] \Rightarrow \int_{a}^{b} f(x) \mathrm dx > 0$
• Croissance : $f(x) > g(x)$ sur $[a~ ;~ b] \Rightarrow \int_{a}^{b} f(x) \mathrm dx > \int_{a}^{b} g(x) \mathrm dx$

Calcul d'aire sous une courbe

Soit $f$ une fonction positive et continue sur l'intervalle $[a~ ; b]$. L'aire de la surface délimitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = a$ et $x = b$ est $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm dx$ (en unités d'aire).

Application pratique

Pour la fonction $f$ définie par $f(x) = 2{x}^2$ qui est continue et positive sur l'intervalle $[0~ ; 2]$, l'aire de la surface délimitée par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$ est :

$\displaystyle \mathrm A = \int_0^2 f(x) \mathrm dx = \frac{16}{3}$ u.a.

Valeur moyenne d'une fonction continue

Soit $\mu$ la valeur moyenne d'une fonction $f$ continue sur l'intervalle $[a ; b]$ ($a < b$).

Formule de la valeur moyenne

On a :

$$\mu = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm dx$$

Application pratique

La valeur moyenne de la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x^2$ sur l'intervalle $[0 ; 2]$ est :

$$\mu = \frac{1}{2-0} \int_0^2 f(x) \mathrm dx = \frac{1}{2} \times \frac{16}{3} = \frac{8}{3}$$