Définition
La fonction logarithme népérien définie sur $]0~ ; + \infty[$ est la fonction $x \mapsto \ln(x)$ où le nombre réel $\ln(x)$ est l'unique solution de l'équation $\mathrm e^{y} = x$ d'inconnue $y$.
Propriétés de base
Elle est définie, continue, dérivable sur l'intervalle $]0~ ; + \infty[$. Pour tout $x \in\:]0~ ; + \infty[$, $\displaystyle \ln'(x) = \frac{1}{x} > 0$ donc la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0~ ; + \infty[$.
Valeurs remarquables : $\ln(1) = 0$ et $\ln x < 0$ pour $x \in \:]0~ ; 1[$ et $\ln x >$ 0 pour $x \in \:]1~ ; + \infty[$ car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0~ ; + \infty[$.
Propriétés
Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs :
| Propriété | Formule |
| Logarithme d'un produit | $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$ |
| Logarithme de l'inverse | $\displaystyle \ln\left(\frac{1}{b}\right) = -\ln(b)$ |
| Logarithme d'un quotient | $\displaystyle \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ |
| Logarithme d'une puissance | $\ln({a}^{n}) = n \ln(a)$ ($n$ entier relatif) |
| Logarithme d'une racine | $\displaystyle \frac{1}{2} \ln(a) = \ln(\sqrt{a})$ |
Dérivée de $\ln(u)$
Pour une fonction $u$ strictement positive et dérivable sur un intervalle $\rm I$, $\ln(u)$ est dérivable sur $\rm I$ et :
$\displaystyle (\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ sur cet intervalle.
