Fonction convexe 2

Fonction convexe

Une fonction convexe sur un intervalle $\rm I$ est caractérisée par le fait que sa courbe représentative est au-dessus de toutes ses tangentes.

La fonction exponentielle est convexe sur l'intervalle $]-\infty ~; +\infty[$. Sa courbe représentative est au-dessus de sa tangente au point d'abscisse $x = 0$, ainsi qu'en tous les points d'abscisse réelle.

Fonction concave

Une fonction concave sur un intervalle $\rm I$ est caractérisée par le fait que sa courbe représentative est en-dessous de toutes ses tangentes.

La fonction logarithme népérien est concave sur l'intervalle $]0~ ; +\infty[$. Sa courbe représentative est en-dessous de sa tangente au point d'abscisse $x = 1$, ainsi qu'en tous les points d'abscisse strictement positive.

Convexité et concavité des fonctions

Caractérisation par les dérivées

Pour une fonction $f$ deux fois dérivables sur un intervalle $\rm I$ :

$f$ convexe sur $\mathrm I \Leftrightarrow f'$ croissante sur $\mathrm I \Leftrightarrow f'' \geq 0$ sur $\rm I$.

$f$ concave sur $\mathrm I \Leftrightarrow f'$ décroissante sur $\mathrm I \Leftrightarrow f'' \leq 0$ sur $\rm I$.

Exemples d'application

La dérivée seconde de la fonction exponentielle étant la fonction exponentielle, qui est strictement positive sur $]-\infty~; +\infty[$, elle est convexe sur l'intervalle $]-\infty~; +\infty[$.

Pour tout $x \in ]0~ ; +\infty[$, $\ln'(x) = \displaystyle \frac{1}{x}$.

Pour tout $x \in ]0~ ; +\infty[$, $\ln''(x) = \displaystyle -\frac{1}{{x}^2} < 0$. La fonction logarithme népérien est donc concave sur l'intervalle $]0~ ; +\infty[$.

Point d'inflexion

Un point d'inflexion pour une courbe est un point (de la courbe) où la représentation graphique traverse la tangente en ce point. Si la fonction est deux fois dérivable dans un intervalle contenant l'abscisse $x$ de ce point, sa dérivée seconde s'annule en changeant de signe en $x$.

Exemple

Le point d'abscisse $x = 0$ est un point d'inflexion pour la courbe représentative de la fonction :

$$x \mapsto {x}^3 = f(x)$$

$f$ est deux fois dérivable sur $]-\infty~ ; +\infty[$ et pour tout $x \in ]-\infty~ ; +\infty[, ~f'(x) = 3{x}^2\text{ et }f''(x) = 6x$.

$f''$ s'annule en changeant de signe en $x = 0$.

Graphiquement, au point d'abscisse $x = 0$, la courbe traverse sa tangente en ce point d'équation $y = 0$.