Équations polynomiales

Résolution d'équations du second degré

Forme générale

Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ et discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.

Cas selon la valeur du discriminant

Discriminant nul ($\Delta = 0$)

Si $\Delta = 0$, l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ a une solution double :

$$x_0 = -\frac{b}{2a}$$

Discriminant positif ($\Delta > 0$)

Si $\Delta > 0$, l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ a deux solutions distinctes réelles :

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \text{ et } x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Discriminant négatif ($\Delta < 0$)

Si $\Delta < 0$, l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ admet deux solutions complexes conjuguées :

$$x_1 = \frac{-b - i\sqrt{|\Delta|}}{2a} \text{ et } x_2 = \frac{-b + i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$$

$P(x) = x^2 - x + 1$

Discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac = 1 - 4 = -3 < 0$ donc il y a deux racines complexes conjuguées :

$$x_1 = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2} \text{ et } x_2 = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}$$

Équations polynomiales

Une équation polynomiale est une équation de la forme $P=0$ où $P$ est un polynôme.

Définition d'un polynôme

Un polynôme est une fonction $P$ définie par $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0$. Chaque terme $a_ix^i$ est un monôme de degré $i$ et de coefficient $a_i$. Le polynôme $P$ est de degré $n$ et on note $deg P=n$ lorsque le monôme de degré $n$ n'est pas nul.

Propriétés des degrés

Si $P$ et $Q$ sont des polynômes, alors :

• $deg P\times Q= deg P + deg Q$
• $deg(P+Q)\leq max(deg P ; deg Q)$

$P(x)=-x^2+x+2$ et $Q(x)=x^2+2x+4$ ($deg P= deg Q=2$).
On calcule $(P+Q)(x)=3x+6$ et on observe que $deg(P+Q)=1$.

Théorème de factorisation

Théorème : $z^n-a^n=(z-a)(z^{n-1}+z^{n-2}a+…+a^{n-1})$.

Polynôme nul et racines

Le polynôme nul est un polynôme dont tous les coefficients sont nuls, il n'a pas de degré et il est nul pour n'importe quelle valeur de $x$.

La racine $x_0$ d'un polynôme $P$ est un nombre tel que $P(x_0)=0$.

$x_0=\displaystyle\frac{1}{3}$ est la racine du polynôme $P(x)=3x-1$.

Théorème fondamental de factorisation

Théorème fondamental : Si $x_0$ est une racine du polynôme $P$ alors ce polynôme est factorisable par $(x-x_0)$, c'est-à-dire : $P(x)=(x-x_0)\times Q(x)$ où $Q$ est un polynôme de degré égal à celui de $P$ moins 1.

$P(x)=3x^2-3x-6$, un polynôme du second degré.
Discriminant : $\Delta=b^2-4ac=81=9^2$ donc il y a deux racines réelles: $x_1=\displaystyle\frac{3-\sqrt{\Delta}}{2\times 3}=-1$ et $x_2=\displaystyle\frac{3+\sqrt{\Delta}}{2\times 3}=2$ donc $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a$ constante. Ici $P(x)=3(x+1)(x-2)$.

Nombre maximum de racines

Théorème : Un polynôme de degré $n$ admet au plus $n$ racines.