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Une équation différentielle est une équation :
On appelle solution d'une équation différentielle $\rm (E)$ toute fonction définie sur $\mathbb{R}$ et qui vérifie $(\rm E)$.
Ce sont les équations du type $y'=ay~ (\mathrm E_1)$ avec $a$ constante réelle.
Les solutions de $\rm (E_1)$ sont les fonctions définies par $y(x)=\mathrm{Ke}^{ax}$, où $\rm K$ est une constante quelconque.
Soient $a$ un réel et $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
Soit $\rm({E_1}')$ l'équation différentielle : $y^{\prime}-a y=f$
L'équation $(\mathrm{E}_1)$ : $y^{\prime}= ay$ est appelée équation différentielle homogène (ou sans second membre) associée à $\rm({E_1}')$.
Soit $p$ une solution particulière de $\mathrm({E_1}'): p^{\prime}-a p=f$. Alors les solutions $y$ de $\rm({E_1}')$, sur $\mathbb{R}$, s'obtiennent en ajoutant les solutions de $(\mathrm{E}_1)$ avec $p: y(x)=\mathrm{K e}^{a x}+p(x)$.
Pour la détermination de la solution particulière $p$, l’énoncé donnera toujours les indications nécessaires. Mais on retiendra que $p$ est en général de même « nature » (constante, polynôme, trigonométrique, exponentielle) que $f$.
Soit $y'=a y+f$ une équation différentielle linéaire du premier ordre. Alors, pour tous $x_0$ et $y_0$ de $\mathbb{R}$, il existe une seule solution telle que $y(x_0)=y_0$ (« condition initiale »).
Ce sont les équations du type $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0~\left(E_2\right)$, où $a$ et $b$ sont des constantes réelles.
Soit $f_1$ et $f_2$ deux solutions non nulles et non proportionnelles de $\rm (E_2)$, c'est-à-dire telles qu'il n'existe pas de réel $k$ tel que $f_2=k f_1$.
Alors, l'ensemble des solutions de $\rm(E_2)$ est l'ensemble des fonctions de la forme $\mathrm A f_1+ \mathrm B f_2$ (où $\rm A$ et $\rm B$ sont des réels).
Pour résoudre l'équation différentielle $\rm(E_2)$, on considère l'équation du second degré en $r$ suivante, appelée équation caractéristique de $\rm(E_2)$ : $r^2+a r+b=0$.
Trois cas peuvent se produire, résumés dans le tableau ci-dessous :
| Si l'équation caractéristique admet pour solutions : | Alors la forme générale des solutions de $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ est : |
| Deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$ | $f(x)=\mathrm{Ae}^{r_1 x}+\mathrm{Be}^{r_2 x}$ |
| Une racine réelle double $r$ | $f(x)=(\mathrm{A} x+\mathrm{B}) \mathrm{e}^{r x}$ |
| Deux racines complexes conjuguées $\lambda=\alpha+i \beta$ et $\bar{\lambda}=\alpha-i \beta$ | $f(x)=\mathrm{e}^{\alpha x}[\mathrm{~A} \cos (\beta x)+\mathrm{B} \sin (\beta x)]$ |
$A, B, \alpha, \beta$ sont des constantes réelles.
Soit $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. Alors, pour tous $x_0, \mathrm{y}_0$, et $y_1$ de $\mathbb{R}$, il existe une seule solution $f$ telle que $f(x_0)=y_0$ et $f^{\prime}(x_0)=y_1$ (« conditions initiales »).
Soit $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=f~~(\mathrm{E}_2{ }^{\prime})$ une équation différentielle, où $f$ est une fonction donnée.
L'équation différentielle $\rm(E_2)$ : $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ est appelée équation différentielle homogène (ou sans second membre) associée à $\rm (E_2{ }^{\prime})$.
Supposons connue une certaine solution $y_p$ de $\left(\mathrm{E}_2{ }^{\prime}\right): y_p{ }^{\prime \prime}+a y_p{ }^{\prime}+b y_p=f$.
Alors, l'ensemble des solutions de $(\rm E_2{}')$ est l'ensemble des fonctions de la forme $y_p+z$, où $z$ est une solution de $\rm(E_2)$.
Pour la détermination de la solution particulière $y_p$, l'énoncé donnera toujours les indications nécessaires. Mais on retiendra que $y_p$ est en général de même « nature » (constante, polynôme, trigonométrique, exponentielle) que $f$.
Équations différentielles
