Nombres complexes

I. Notion de nombres complexes

L’ensemble $\mathbb C$ est défini comme suit : $\mathrm{\mathbb C= \{z = a + bi / (a \textit { ; } b) \in \mathbb R^2}$ et $i^2= -1\}$

• L’écriture unique de $z = a + bi$ s’appelle la forme algébrique du complexe $z$.
• Le réel $a$ est appelé la partie réelle de $z$ et s’écrit $Ré(z) = a$.
• Le réel $b$ est appelé la partie imaginaire de $z$ et se note $Im(z) = b$.
• Le complexe $ib$ est appelé un nombre imaginaire pur.
• Les règles de calcul dans $\mathbb C$ sont les mêmes adoptées dans $\mathbb R$ en remplaçant $i^2$ par $-1$.

II. Représentation géométrique d’un nombre complexe

Le plan $(P)$ est rapporté à un repère orthonormé direct $(O \textit { ; } \overrightarrow{e_1} \textit { ; } \overrightarrow{e_2})$.
Pour tout complexe $z = a + bi$, on considère le point $M(a \textit { ; } b)$ et le vecteur $\overrightarrow {u}(a \textit { ; } b)$ :

• Le complexe $z$ est appelé l’affixe du point $M$ et du vecteur $\overrightarrow {u}$ et on écrit $aff(M) = z \textit{ ou } z_M = z$
• Le point $M$ et le vecteur $\overrightarrow {u}$ sont appelés images du complexe $z$ et on écrit $M(z)$ ou $\overrightarrow {u}(z)$. 
• Le plan $(P)$ est appelé plan complexe.

Propriétés :

• $aff.\overrightarrow{(AB)} = aff(B) - aff(A)$
• Si $I$ est le milieu de $[AB]$ alors $\displaystyle aff(I) = \frac{aff(A) + aff(B)}{2}$.
• Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\displaystyle \frac{z_B - z_A}{z_C - z_A} \in \mathbb R$.

III. Conjugué et module d’un complexe

Soit $z = a + bi$ un complexe on a :

• Le conjugué de $z$ est noté $\overline{z}$ et on a :
  $\overline{z} = a - bi$.
• Le module de $z$ est noté $|z|$ et on a : $|z|= \sqrt{a^2 + b^2}$ .
• Si $A$ et $B$ deux points du plan complexe, on a : $AB = |z_B - z_A|$ ; $AB$ est la distance entre $A$ et $B$.

IV. Argument et forme trigonométrique d’un complexe non nul

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O \textit { ; } \vec u \textit { ; } \vec v)$

Définition :

L’argument d’un complexe $z$ qu’on note $arg(z)$ est une mesure de l’angle orienté $(\overrightarrow{u} \textit { ; } \overrightarrow{OM})$ tel que $M$ est l’image de $z$.

Proposition et définition :

Soit $z$ un complexe non nul tel que $\arg (z) = \theta [2 \pi]$
L’écriture $z = |z| (\cos \theta + i\sin \theta)$ est appelé forme trigonométrique du complexe $z$.
Si $\displaystyle z = a + bi \textit{ alors } \cos \theta = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \textit{ et } \sin \theta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Formule de Moivre :

$(\forall n \in \mathbb N) (\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos {(n \theta)} + i \sin {(n \theta)}$.

$A$, $B$ et $C$ trois points du plan complexe d’affixes respectifs $\displaystyle z_A \textit { ; } z_B \textit { ; } z_C$ : $\displaystyle {(\overrightarrow{AB} \textit { ; } \overrightarrow{AC})} = \arg{ \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}} [2\pi]$

Notation exponentielle d’un complexe non nul :

Tout complexe non nul $z = r (\cos \theta + i\sin \theta)$ avec $r > 0$ admet la forme exponentielle suivante :

$z = r e^{i\theta}$

Formules d’Euler :

$\displaystyle \cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \textit { et } \sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} (\forall \theta \in \mathbb R)$

V. Formules complexes d’une translation, d'une homothétie et d’une rotation

• $T$ est la translation de vecteur $\overrightarrow {u}$ d'affixe $u$ ; la formule complexe de $T$ est :
  $z’ = z + u$.
• $H$ est l’homothétie de centre $C$ d’affixe $c$ est de rapport $k$ ; la formule de $H$ est :
  $z' = k(z - c) + c$
• $R$ est la rotation de centre $\Omega (\omega)$ et d'angle $\theta$ la formule de $R : z' - \omega = e^{i\theta }(z - \omega)$

VI. Résolution dans $\mathbb C$ de l'équation $(E)$ : $az^2 + bz + c = 0$ avec $a\in \mathbb R^\ast ; b\in \mathbb R$ et $c \in \mathbb R$

On sait que :

$\Delta = b^2 - 4ac$

Si $\Delta < 0$ l'équation $(E)$ admet deux solutions complexes conjuguées :

$z_1 = \dfrac{-b - i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ et $z_2 = \dfrac{-b+i \sqrt{|\Delta|}}{2a}$