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- Equation différentielle du mouvement
On considère un projectile assimilé à un point $G$. À $t=0$, le projectile est au point $O$. On le lance avec une vitesse initiale $\vec{v_0}$ et avec un angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale.
On l’étudie dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
Le vecteur position est donné par :
$$\overrightarrow{OG} = x \overrightarrow{i} + z \overrightarrow{k}$$
La vitesse et l’accélération sont alors données par :
$$\overrightarrow{V_g} = \dfrac{d \overrightarrow{OG}}{dt} = \dot{x} \overrightarrow{i} + \dot{z} \overrightarrow{k}, \: \overrightarrow{a_g} = \ddot{x} \overrightarrow{i} + \ddot{z} \overrightarrow{k}$$
Appliquons la deuxième loi de Newton :
$\overrightarrow{P} = m \overrightarrow{a}$ $\Leftrightarrow m \overrightarrow{g} = m \overrightarrow{a}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{g} = \overrightarrow{a}$
Les coordonnées du vecteur accélération sont donc :
$\ddot{x} = 0$ et $\ddot{z} = -g$
- Résolution différentielle du mouvement
Pour obtenir les coordonnées du vecteur vitesse, et l’équation horaire du mouvement on cherche une primitive pour chacune des composantes du système.
Le vecteur vitesse
$\overrightarrow{v(t)} \begin{pmatrix} v_0 \cos \alpha \\ -g t + v_0 \sin \alpha \end{pmatrix}$
Les équations horaires du mouvement
Pour obtenir les équations horaires du mouvement, il faut calculer une primitive de chacune des composantes de la vitesse :
$\left\{\begin{array}{}x(t) = (v_0 \cos \alpha) t + C_3 \\ z(t) = \dfrac{-1}{2}g t^2 + (v_0 \sin \alpha ) t + C_4 \end{array} \right.$
Pour déterminer les constantes, on utilise les conditions initiales :
$\left\{ \begin{array}{}x(t) = (v_0 \cos \alpha) t \\ z(t) = \frac{-1}{2}g t^2 + (v_0 \sin \alpha ) t \end{array} \right.$
La portée
La portée est la distance maximale parcourue par le projectile et est caractérisée par le point d’impact $B$ où $Z_B = 0$
$Z_B = 0 \Leftrightarrow - \dfrac{g}{2 v_{0}^{2} \cos ^2 \alpha} x_{B}^{2} + \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} x_B = 0$ $\Leftrightarrow \dfrac{x_B}{\cos \alpha}( \dfrac{-g}{2 v_{0}{2} \cos \alpha} + \sin \alpha) = 0$
Cette équation admet deux solutions :
$x_B = 0$
ou
$x_B = \dfrac{2 v_{0}^{2} \cos \alpha \sin \alpha}{g} \:$ $= \dfrac{ v_{0}^{2} \sin (2 \alpha)}{g}$
La portée est donc :
$$x_B= \dfrac{ v_{0}^{2} \sin (2 \alpha)}{g}$$
