Les suites

I. Suite arithmétique et suite géométrique

II. Suite majorée et suite minorée

• $(u_n)$ est majorée par le réel $M \Leftrightarrow u_n \leq M (\forall n \in I)$.
• $(u_n)$ est minorée par le réel $M \Leftrightarrow u_n \geq M (\forall n \in I)$.

III. Suite croissante, suite décroissante

• $(u_n)$ est croissante $\Leftrightarrow u_{n + 1} - u_n \geq 0 (\forall n \in I)$
• $(u_n)$ est décroissante $\Leftrightarrow u_{n + 1} - u_n \leq 0(\forall n \in I)$.

IV. Convergence d'une suite

• $(u_n)$ est convergente de limite $I$ $\displaystyle \Leftrightarrow \lim_n u_n = l$ et $l \in \mathbb R$

Critère de convergence d'une suite :

1. Toute suite croissante et majorée est convergente
2. Toute suite décroissante et minorée est convergente

• Si $\displaystyle v_n \leq u_n \leq w_n (\forall n \geq n_0)$ et $\displaystyle  \lim_{+\infty} v_{n} = \lim_{+\infty} w_{n} = l$ alors $\displaystyle \lim_{+\infty} u_n = l$
• Si $\displaystyle u_n \leq v_n (\forall n \geq n_0)$ et $\displaystyle \lim_{+\infty} v_{n} = -\infty$ alors $\displaystyle \lim_{+\infty} u_n = -\infty$
• Si $\displaystyle u_n \geq v_n (\forall n \geq n_0)$ et $\displaystyle \lim_{+\infty} v_{n} = +\infty$ alors $\displaystyle \lim_{+\infty} u_n = +\infty$.

V. Convergence de la suite $(q^n)$ ; $q \in \mathbb R$

• Si $\displaystyle -1 < q < 1$ alors $\displaystyle \lim_{+\infty}{q^n} = 0$
• Si $\displaystyle q > 1$ alors $\displaystyle \lim_{+\infty}(q^n) = +\infty$
• Si $q \leq -1$ alors la suite $(q^n)$ n'a pas de limite.

VI. Limite de la suite sous forme de $u_{n + 1} = f(u_n)$

Proposition :

Si la fonction $f$ vérifie les conditions suivantes :

• $f$ continue sur l'intervalle $I$
• $f(l) \subseteq I$
• $u_0 \in I$
• $u_{n + 1} = f(u_n)$.

Et si $(u_n)$ est convergente alors sa limite $l$ est solution de l'équation $f(x) = x$.