Géométrie dans l'espace

I. Représentation paramétrique d’une droite et équation cartésienne d’un plan dans l’espace

• Une représentation paramétrique de la droite (D) passante par le point $A(x_A \textit { ; } y_A \textit { ; } z_A)$ et orientée par le vecteur directeur $\vec u (a \textit { ; } b \textit { ; } c)$ est :

$\mathrm{\left \{ \begin{array}{rl} x = x_A + at &\\ y = y_A + bt \textit{ } \mbox { avec } t \in \mathbb R &\\ z = z_A + ct \end{array} \right.}$

• Tout plan $(P)$ admet une équation cartésienne sous forme : $ax + by + cz + d = 0$
• Un vecteur $\vec n$ est normal à un plan $(P)$ si $\vec n$ est un vecteur directeur à toute droite orthogonale à $(P)$.
• Si $ax + by + cz + d = 0$ est une équation du plan $(P)$ alors $\overrightarrow{n}(a, b, c)$ est un vecteur normal à $(P)$.
• La distance entre un point $A(x_A \textit { ; } y_A \textit { ; } z_A)$ et un plan $(P)$ d’équation $ax + by + cz + d = 0$ est :

$\displaystyle d(A \textit { ; } (P)) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

II. Produit vectoriel de deux vecteurs

$(O \textit { ; }  \vec i \textit { ; } \vec j \textit { ; } \vec k)$ est un repère orthonormé direct dans l'espace.

Le produit vectoriel des vecteurs $\vec u (a \textit { ; } b \textit { ; } c)$ et $\vec v (a' \textit { ; } b' \textit { ; } c')$ est le vecteur noté $\vec u \wedge \vec v$ et on a :

$\vec u \wedge \vec v = \begin{vmatrix} b &
b' \\ c & c' \end{vmatrix} \vec i - \begin{vmatrix} a & a'
\\ c & c' \end{vmatrix} \vec j + \begin{vmatrix} a & a'\\ b
& b' \end{vmatrix} \vec k$

III. Etude analytique de la sphère

• L’équation de la sphère de centre $\Omega(a ;b ;c)$ et de rayon $R$ est :

$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$

• L'équation d'une sphère s'écrit aussi :

$x^2 + y^2 + z^2 + \alpha x + \beta y +\gamma z + \delta = 0$ avec $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ des réels.

IV. Position d'une sphère et d'un plan

$S$ est la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $R$. $d = d(\Omega \textit { ; } (P))$ et le point $H$ est la projection orthogonale de $\Omega$ sur le plan $(P)$.

• Si $d > R$ alors $S$ et $(P)$ ne se rencontrent pas : $S \cap (P) = \varnothing$
• Si $d = R$ alors $(P)$ coupe $S$ en un seul point $H$. On dit que $(P)$ est tangent à la sphère $S$
• Si $d < R$ alors $(P)$ coupe $S$ selon le cercle de centre le point $H$ et de rayon $r = \sqrt{R^2 - d^2}$

V. Positions d'une sphère et d'une droite

$S$ est la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $R$, $(D)$ la droite passante par le point $A$ et de vecteur directeur $\vec u$ et $d = d(\Omega \textit { ; } (D))$ on a :

• $d(\Omega \textit { ; } (D)) = \frac{|| \vec {A \Omega} \wedge \vec u ||}{|| \vec u ||}$
• Si $d > R$ alors $(D)$ ne coupe pas la sphère $S$
• Si $d = R$ alors $(D)$ coupe la sphère $S$ en un seul point
• Si $d < R$ alors $(D)$ coupe la sphère $S$ en deux points.