- $F$ et $f$, deux fonctions définies sur un intervalle $I$.
$F$ est une fonction primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)(\forall x \in I)$. - Si $F$ est une fonction primitive de $f$ sur l’intervalle $I$ alors toute fonction $G$ telle que $G(x) = F(x) + c$ ($c$ est une constante réelle) est aussi une fonction primitive de $f$ sur $I$.
- Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet une infinité de fonctions primitives sur $I$.
- $a$ est un réel de l’intervalle $I$ et $b$ dans $\mathbb R$.
Il existe une seule fonction primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(a) = b$.
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Fonctions primitives
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Tableau des primitives des fonctions usuelles
| fonction $f$ | 0 | $a$ |
$x^n$ ; $n\neq -1$ |
$\dfrac{1}{x}$ |
| primitives $F$ | $a$ | $ax+b$ | $\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}$ | $\ln x$ |
Suite (1) :
| $f(x)$ | $\dfrac{1}{2\sqrt x}$ | $\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ | $u(x)^n.u'(x)$ ; $n\neq -1$ | $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ |
| $F(x)$ | $\sqrt x$ | $\sqrt{u(x)}$ | $\dfrac{1}{n+1}u(x)^{n+1}$ | $\ln u(x)$ |
Suite (2) :
| $f(x)$ | $u'(x).e^{u(x)}$ | $ae^{ax}$ | $\cos(x)$ | $\sin(x)$ | $1 + \tan^2(x)$ |
| $F(x)$ | $e^{u(x)}$ | $e^{ax}$ | $\sin(x)$ | $-\cos(x)$ | $\tan(x)$ |
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