Fonctions logarithmiques

I. Définition et Résultats

La fonction primitive de la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ sur $]0 \textit { ; } +\infty[$ qui s’annule en $1$ s’appelle la fonction logarithme népérien et se note $\ln$.

• $\ln$ est définie sur $]0 \textit { ; } +\infty[$
• $(\ln)'(x) =\dfrac{1}{x}$ est définie $(\forall x \in ]0 \textit { ; } +\infty[)$
• $\ln 1 = 0 $ et il existe un réel $e \approx 2.7$ tel que $\ln e = 1$.

Pour $x$ et $y$, deux réels strictement positifs et $r$ un nombre rationnel on a :

• $\ln x = \ln y \Leftrightarrow  x = y$ et $\ln x < \ln y \Leftrightarrow  x < y$
• $\ln x > 0 \Leftrightarrow x > 1$ et $\ln x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1$
• $\ln (x.y) = \ln x + \ln y$ et $\ln (\dfrac{x}{y}) = \ln x - \ln y$
• $\ln (x^r) = r \ln x$ et $\ln (\dfrac{1}{x}) = - \ln x$ et $\ln \sqrt{x} = \dfrac{1}{2}\ln x$.

II. Limites usuelles

• $\displaystyle \lim_{+\infty} \ln x = +\infty$
• $\displaystyle \lim_{+\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$
• $\displaystyle \lim_{0+} \ln x = -\infty$
• $\displaystyle \lim_{0+} x^n \ln x= 0$.
• $\displaystyle \lim_{0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1$

III. Dérivée logarithmique

$u$ est une fonction dérivable et positive sur un intervalle $I : \ln (u(x))' = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$.

IV. Fonction logarithme de base $a$

$a$ est un réel strictement positif et $a\neq 1$. La fonction logarithmique de base est définie par $\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a} (\forall x \in ]0 \textit { ; } +\infty[)$ .
$\ast$ Si $a = 10$, la fonction logarithme de base $10$ s’appelle la fonction logarithme décimale et se note $\log$.