I. Fonction exponentielle de base $e$

Définition :

La fonction réciproque de la fonction $\ln$ sur $ ]0 \textit{ ; } + \infty[$ s’appelle la fonction exponentielle de base $e$. On la note $\exp_e$ et on a :

$\exp_e(x) = e^x (\forall x\in \mathbb R)$.

Résultats et formules :

$(\forall x\in \mathbb R)$ ; $(\forall y\in \mathbb R)$ ; $(\forall r\in \mathbb Q)$, on a :

  • $e^x > 0 \:(\forall x\in \mathbb R)$  
  • $e^x = y \Leftrightarrow \ln y = x$ avec $y > 0$  
  • $ \ln e^x = x$
  • $e^{\ln x} = x$ avec $x > 0$  
  • $e^x = e^y \Leftrightarrow x = y$  
  • $e^x < e^y \Leftrightarrow x < y$  
  • $e^x = 1 \Leftrightarrow x = 0$  
  • $e^x . e^y = e^{x + y}$       
  • $\dfrac{e^x}{e^y} = e^{x - y}$  
  • $(e^x)^r = e^ {rx}$
  • $e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$  

II. Limites usuelles

  • $\displaystyle\lim_{+\infty} e^x = +\infty$   
  • $\displaystyle\lim_{+\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$  
  • $\displaystyle\lim_{-\infty} e^x = 0$  
  • $\displaystyle\lim_{-\infty} x e^x = 0$                  
  • $\displaystyle\lim_{0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1$  

III. Dérivées usuelles

  • $(e^x)' = e^x$
  • $(e^{u(x)})'= u'(x) e^{u(x)}$ si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

IV. Fonction exponentielle de base $a$

Définition :

$a \in \mathbb R^{*+}$ et $a \neq 1$. La fonction réciproque de $\log_a$ s'appelle la fonction exponentielle de base $a$ et on a : $\exp_{a}(x) = a^x (\forall x \in \mathbb R)$.

Résultats :

$(\forall x \in \mathbb R)$ et $(\forall y \in \mathbb R^\ast_+)$  :

  • $a^x = y \Leftrightarrow x = \log_a(y)$
  • $a^x = e^{x \ln a}$