Etude de fonctions

I. Axe de symétrie et centre de symétrie d’une courbe

Soit $f$ une fonction de domaine de définition $D$ .$(C)$ la courbe représentative de $f$.

• La droite d’équation $x = a$ est un axe de symétrie de $(C)$ si pour tout $x$ de $D$ ; on a : $(2a - x)$ est dans $D$ et $f(2a - x) = f(x)$.
• Le point $\Omega(a \textit { ; } b)$ est un centre de symétrie de $(C)$ si $\forall x \in D$, on a $(2a - x) \in D$ et $f(2a - x) + f(x) = 2b$.

II. Concavité et points d’inflexion d’une courbe

$f$ est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$, on a :

• $f$ est convexe sur $I$ équivaut à $f''(x) \geq 0 (\forall x \in I)$
• $f$ est concave sur $I$ équivaut à $f''(x) \leq 0 (\forall x \in I)$
• Le point $A(a; f(a))$ est un point d'inflexion si $f''$ s'annule en $a$ en changeant de signe.

III. Branches infinies d’une courbe

• Si $\displaystyle\lim_{+\infty} f(x) =b \Leftrightarrow$ la droite d'équation $y = b$ est une asymptote horizontale à $(Cf)$ au voisinage de $+\infty$
• Si $\displaystyle\lim_{a} = \infty$ $\Leftrightarrow$ $(Cf)$ a une asymptote verticale d'équation $x = a$
• Si $\displaystyle\lim_{\infty}f(x) = \infty$ et $\displaystyle\lim_{\infty} \frac {f(x)}{x} = \infty$ alors $(Cf)$ a une branche parabolique de direction l'axe des $y$
• Si $\displaystyle\lim_{\infty}f(x) = \infty$ et $\displaystyle\lim_{\infty}\frac{f(x)}{x} = 0$ alors $(Cf)$ a une branche parabolique de direction l'axe des $x$
• Si $\displaystyle\lim_{\infty}f(x) = \infty$ et $\displaystyle\lim_{\infty} \frac{f(x)}{x} = a~ (a \neq 0)$ et $\displaystyle\lim_{\infty}(f(x) - ax)=\infty$ alors $(Cf)$ a une branche parabolique de direction la droite d'équation $y = ax$
• Si $\displaystyle\lim_{\infty}(f(x) - (ax + b)) = 0$ alors la droite d'équation $y = ax + b$ est une asymptote à $(Cf)$.