I. L’équation $y' = ay$

Les solutions de l’équation $y' = ay$ $(a \in \mathbb R)$ sont les solutions $f$ définies sur $\mathbb R$ par $f(x)=\alpha e^{ax}$ avec $\alpha$ une constante réelle.

II. L’équation $y'= ay + b$

Soient $a$ et $b$ deux réels. Les solutions de l’équation $y' = ay + b$ sont les fonctions $f$ définies sur $\mathbb R$ par : $\displaystyle f(x) = \alpha e^{ax} - \frac{b}{a}$   avec $\alpha$ une constante réelle.

III. L’équation $(E)$ : $y'' + ay' + by = 0$

  • L’équation $(E'): r^2 + ar + b = 0$ s’appelle l’équation caractéristique de l’équation $y'' + ay' + by = 0$.
  • Si l’équation $(E’)$ admet deux solutions réelles $r_1$ et $r_2$ alors les solutions de l’équation $(E)$ sont les fonctions $f$ définies sur $\mathbb R$ par $f(x) = \alpha e^{r_1x} + \beta e^{r_2x}$ ; $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes réelles.
  • Si l’équation $(E’)$ admet une seule solution $r_0$ alors les solutions de l’équation $(E)$ sont les fonctions $f$ définies sur $\mathbb R$ par $f(x)= (\alpha x + \beta) e^{r_0x}$ ; $\alpha$ et $\beta$ deux constantes réelles.
  • Si l’équation $(E’)$ admet deux solutions complexes $z_1 = p + iq$ et $z_2 = \overline{z_1}$ alors les solutions de l’équation $(E)$ sont les fonctions $f$ définies sur $\mathbb R$ par $f(x) = (\alpha \cos qx + \beta \sin qx) e^{px}$ avec $\alpha$ et $\beta$ deux constantes réelles.