On dit que $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ si $f$ est dérivable en tout point $x$ de $I$.
La fonction qui à tout $x$ de $I$ associe le nombre dérivé $f'(x)$ est appelée la fonction dérivée de $f$ sur $I$ et se note $f'$.
$f$ est dérivable sur $[a \textit { ; } b]$, si $f$ est dérivable sur $]a \textit { ; } b[$ et dérivable à gauche de $b$ et à droite de $a$.
Fonctions dérivées des fonctions usuelles :
| $f(x) =$ |
K |
$ax$ |
$x^n$ ; $n\neq 0$ |
$\dfrac{1}{x}$ |
$\sqrt x$ |
$\sin x$ |
$\cos x$ |
$\tan x$ |
| Dérivable sur |
$\mathbb R$ |
$\mathbb R$ |
$\mathbb R^*$ |
$\mathbb R^*$ |
$\mathbb R^{*+}$ |
$\mathbb R$ |
$\mathbb R$ |
$\cos x \neq 0$ |
| $f'(x) =$ |
0 |
$a$ |
$nx^{n-1}$ |
$\dfrac{-1}{x^2}$ |
$\dfrac{1}{2\sqrt x}$ |
$\cos x$ |
$-\sin x$ |
$1+\tan^2x$ |
Opérations sur les fonctions dérivées :
Soient $u$ et $v$, deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, $k$ un réel non nul et $n$ un entier, on a :
| $f(x) =$ |
$u(x) + v(x)$ |
$ku(x)$ |
$u(x).v(x)$ |
$\dfrac{k}{u(x)}$ |
$\dfrac{u(x)}{v(x)}$
$v(x) \neq 0$
|
$u(x)^n$ |
$\sqrt{u(x)}$
$u(x) > 0$
|
| $f'(x) =$ |
$u'(x) + v'(x)$ |
$ku'(x)$ |
$u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ |
$\dfrac{-ku'(x)}{(u(x))^2}$ |
$\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}$ |
$nu'(x)u^{n-1}(x)$ |
$\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ |
La dérivée de $g \circ f$ et de $f^{-1}$ :
- $f$ est définie sur $I$, $g$ est définie sur $J$ et $f(I)$ est inclus dans $J$. Si $f$ est dérivable sur $I$ et $g$ dérivable sur $J$, on a : $(\forall x \in I)(g \circ f)'(x) = g’(f(x))\times f’(x)$.
- Soit $f'^{-1}$ la réciproque de $f$ sur l'intervalle $I$, $J = f(I); a \in I \textit { et } f(a) = b$. Si $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) \neq 0$ alors $f^{- 1}$ est dérivable en $b$ et en $a$ : $(f^{-1})(b) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(b))}$.
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