Continuité d'une fonction

I. Rappel sur les limites

Les formes indéterminées souvent utilisées sont :

« $\frac{0}{0}$ »
« $\frac{\infty}{\infty}$ »
« $\pm \infty \times 0$ »
« $+ \infty - \infty$ ».

II. Continuité d’une fonction en un point

Définition :

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et $a \in I$.
$f$ est continue en $a \Leftrightarrow \displaystyle\lim_{a} f(\textit x)=f(a)$.

Continuité à droite et à gauche :

Définition :

• Soit $f$ une fonction définie sur $[a \textit { ; } a + r [ \textit { ; } r > 0$.
  $f$ est continue à droite en $a \Leftrightarrow \displaystyle\lim_{a+} f(\textit x)=f(a)$
• Soit $f$ une fonction définie sur $]a - r \textit { ; } a] \textit { ; } r > 0$.
  $f$ est continue à gauche en $a \Leftrightarrow \displaystyle\lim_{a-} f(\textit x)=f(a)$
• $f$ est continue en $a \Leftrightarrow f$ est continue à droite et à gauche au point $a$.

III. Continuité sur un intervalle

• $f$ est continue sur $]a \textit { ; } b[ \Leftrightarrow f$ est continue en tout nombre $x \in ]a \textit { ; } b[$ 
• $f$ est continue sur $[a \textit { ; } b]$ si $f$ est continue sur $]a \textit { ; } b[$ et continue à gauche de $b$ et à droite de $a$. 
• Les fonctions polynômes ; $cos$ et $sin$ sont continues sur $\mathbb R$.
• Toute fonction rationnelle $f$ est continue sur $Df$.
• La fonction $x \rightarrow \sqrt{x}$ est continue sur $[0 \textit { ; } +\infty[$.

IV. Opérations sur les fonctions

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ et $k$ un réel, on a :

• $f + g \textit { ; } f \times g$ et $kf$ sont des fonctions continues sur $I$
• Si $g$ ne s'annule pas sur $I$ alors $\frac{f}{g}$ est continue sur $I$
• Si $f$ est positive sur $I$ alors $\sqrt{f}$ est continue sur $I$.

V. L'image d'un intervalle par une fonction continue est strictement monotone

Les résultats sont résumés dans le tableau suivant :

VI. Théorème des valeurs intermédiaires

$f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$. On a $\forall y \in f(I)\: \exists x \in I$ tel que $f(x) = y$.

• Si $f$ est continue sur $[a \textit { ; } b]$ et $f(a) \times f(b) \leq 0$ alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $[a \textit { ; } b]$
• Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a \textit { ; } b]$ et $f(a) \times f(b) \leq 0$, alors l'équation $f(x) = 0$ admet une seule solution dans $[a \textit { ; } b]$.

VII. Théorème de la fonction réciproque

Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ ; alors $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $f(I)$ et on a :

• $f^{-1}$ est continue et a le même sens de variation que $f$
• $Cf^{-1}$ et $Cf$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$.