Calcul des probabilités

I. Différents types de tirages

On tire $p$ boules parmi $n$ boules existantes dans un sac $(p \leq n)$.

II. Vocabulaire

• Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut prévoir le résultat. Ex : jeter une pièce à monnaie ou un dé ; tirer $p$ boules parmi $n$ boules dans un sac….
• Chaque résultat d’une expérience aléatoire s’appelle éventualité.
• L’ensemble de toutes les éventualités s’appelle univers des éventualités $\Omega$.
• Toute partie de l’univers des éventualités $\Omega$ s’appelle événement, tout événement $A$ contenant une seule éventualité est appelé événement élémentaire.
• $\Omega$ est appelé événement $c$ certain (il se réalise certainement).
• $\varnothing$ est appelé événement impossible (il ne se réalise jamais).
• $A$ et $B$ sont deux événements incompatibles s’ils ne se réalisent pas en même temps (c’est-à-dire : $A \cap B = \varnothing$).
• $A$ et $B$ sont deux événements contraires si : $A \cap B = \varnothing$ et $A \cup B = \Omega$ et on écrit : $A = \overline{B}$ ou $B = \overline{A}$.

III. Probabilité sur un ensemble fini

Définition :

$\Omega = \{\omega_1 \textit { ; } \omega_2 \textit { ; } \ldots \textit { ; } \omega_n\}$ l'univers des éventualités d'une expérience aléatoire. On définit une probabilité sur $\Omega$ en associant à chaque éventualité $\omega_i$ le réel $p_i$ tels que : $p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1$.
Le nombre $p_i$ est appelé la probabilité de l'événement $\{\omega_i\}$.

Propriétés :

Soit $p$ une probabilité sur un univers des éventualités $\Omega$ on a :

• $p (\Omega) = 1$ et $p (\varnothing) = 0$
• Pour tout événement $A$ on a : $0 \leq p(A) \leq 1$
• $P(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$
• Si $A$ et $B$ sont deux événement incompatibles alors $P(A \cup B) = p(A) + p(B)$
• $A$ et $B$ sont deux événements indépendants si $p(A \cap B) = p(A) . p(B)$
• $p(\overline{A}) = 1 - p(A)$
• La probabilité d'un événement $A$ est la somme des probabilités de tous les événements élémentaires inclus dans $A$.

Hypothèse de l'équiprobabilité :

• Une expérience aléatoire est soumise à l’hypothèse de l’équiprobabilité si tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
• Sous les conditions ci-dessus ; pour tout événement $A$ on a : $\displaystyle p(A) = \frac{card A}{card \Omega}$
• $card A =$ le nombre des éventualités qui constituent $A$.

Probabilité conditionnelle :

$A$ et $B$ deux événements tels que $p(B) \neq 0$ ; la probabilité de $A$ sachant que $B$ est réalisé est $\displaystyle p_B(A) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)}$

IV. Variable aléatoire

Soit $\Omega$ l'univers des éventualités d'une expérience aléatoire on a :

• Chaque fonction $X$ définie sur $\Omega$ vers l'ensemble $\mathbb R$ s'appelle variable aléatoire.
• Soient $x_1 \textit { ; } x_2 \textit { ; } \ldots \textit { ; } x_n$ les valeurs prises par une variable aléatoire $X$. La fonction $f$ définie sur $\{x_1 \textit { ; } x_2 \textit { ; } \ldots \textit { ; } x_n\}$ par $f(x_i) = p(X = x_i)$ s'appelle la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ et on a $p(X = x_1) + p(X = x_2) + \ldots + p(X = x_n) = 1$

V. Espérance mathématique, variance et l'écart type d'une variable aléatoire

Soit $X$ une variable aléatoire de loi de probabilité comme l'indique le tableau ci-dessous :

• L'espérance mathématique est $E(X) = x_1 . p_1 + x_2 . p_2 + \ldots + x_n . p_n$
• La variance de $X$ est $V(x) = (x_1 - E(X))^2 + (x_2 - E(X))^2 + \ldots (x_n - E(X))^2$
• L'écart type de $X$ est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$