I. Intégrale d'une fonction continue

Définition :

$f$ est une fonction continue sur l'intervalle $[a \textit { ; } b]$ et $F$ une fonction primitive de $f$ sur $[a \textit { ; }b]$.
Le nombre $F(b) - F(a)$ s'appelle intégrale de $f$ de $a$ à $b$ et se note : $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx$.

Interprétation géométrique d'une intégrale :

$f$ est une fonction continue et positive sur $[a \textit { ; } b]$
$a < b.\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx$ est l'aire du domaine compris entre la courbe $(Cf)$ de $f$ dans un repère orthonormé, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x = a$ et $x = b$.

Propriétés :

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ ; $k \in \mathbb R$ ; $a\in I$ ; $b \in I$ ; $c \in I$

On a :

  • $\displaystyle \int_{a}^{a} f(x)dx = 0$
  • $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx = - \int_{b}^{a} f(x)dx$
  • $\displaystyle \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(x)dx$
  • $\displaystyle \int_{a}^{b} k. f(x)dx = k \int_{a}^{b} f(x)dx$
  • $\displaystyle \int_{a}^{b} (f(x)+ g(x))dx = \int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{a}^{b} g(x)dx$

II. Intégration par parties

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $[a \textit { ; } b]$ telles que $u’$ et $v’$ sont continues sur $[a \textit { ; }b]$  on a :

$\displaystyle \int_{a}^{b} u’(x). v (x) dx = [u(x).v(x)]_{a}^b - \int_{a}^{b} u(x). v'(x) dx$

III. Intégrale et ordre

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a \textit { ; } b]$, on a :

  • $ f \geq 0$ sur $[a \textit { ; } b] \Longrightarrow \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx \geq 0$
  • $f\leq g$ sur $[a \textit { ; } b] \Longrightarrow \displaystyle  \int_{a}^{b} f(x) dx \leq \int_{a}^{b} g(x) dx$

IV. Valeur moyenne d’une fonction continue sur $[a \textit { ; } b]$

Propriété et définition :

Soit $f$ fonction continue sur $[a \textit { ; } b]$ avec $a < b$ :

$(\exists c \in ]a \textit { ; } b[)$ tel que $f(c) =\displaystyle \frac{1}{b - a}  \int_{a}^{b} f(x) dx$

Le nombre $\displaystyle \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) dx$ s'appelle la valeur moyenne de $f$ sur $[a \textit { ; } b]$.