I. Introduction

Un système d'équations linéaires à deux inconnues est un ensemble d'équations linéaires (du premier degré) de la forme :

$\begin{cases}
ax + by = c \\
a’x +b’y = c’\end{cases}$

Dans $\mathbb R \times \mathbb R$, chaque équation représente une droite.

Une solution d'un système d'équations linéaires est un couple de valeurs qui, lorsqu'elles sont substituées aux inconnues, satisfont les deux équations du système.

Interprétation géométrique

Un système de deux équations linéaires à deux inconnues représente l'intersection de deux droites dans le plan.

Si elle admet...

  • Une solution unique : Les droites se coupent en un point unique.
  • Aucune solution : Les droites sont parallèles et distinctes.
  • Une infinité de solutions : Les droites sont confondues.

II. Méthodes de résolution de systèmes linéaires

1. Méthode de substitution

  • Étape 1 : Isoler une inconnue dans l'une des équations.
  • Étape 2 : Substituer l'expression de cette inconnue dans l'autre équation.
  • Étape 3 : Résoudre l'équation obtenue pour trouver la valeur d'une inconnue.
  • Étape 4 : Substituer la valeur trouvée dans l'une des équations initiales pour trouver la valeur de l'autre inconnue.

2. Méthode d’addition (combinaison linéaire)

  • Étape 1 : Multiplier une ou les deux équations par des constantes de manière à ce que les coefficients d'une même inconnue soient opposés.
  • Étape 2 : Additionner les deux équations membre à membre pour éliminer une inconnue.
  • Étape 3 : Résoudre l'équation obtenue pour trouver la valeur d'une inconnue.
  • Étape 4 : Substituer la valeur trouvée dans l'une des équations initiales pour trouver la valeur de l'autre inconnue.

Interprétation graphique : La solution du système correspond aux coordonnées du point d'intersection des deux droites.

III. Systèmes d'équations faisant intervenir les fonctions exponentielle et logarithme népérien

Rappels

  • La fonction exponentielle népérienne, notée $\mathrm{exp}(x)$ ou $\mathrm e^x$, est la fonction qui à $x$ associe $\mathrm{e}^x$, où $\rm e$ est la constante d'Euler (environ 2,71828).
  • La fonction logarithme népérien, notée $\ln(x)$, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Résolution de systèmes

La résolution de systèmes d'équations avec $\mathrm {e}^x$ et $\ln(x)$ se fait généralement par changement de variable.

On pose $u = \ln x$  et $y = \ln y$ pour obtenir un système linéaire. On peut alors utiliser la méthode d'addition ou celle de substitution pour résoudre ce système avant de revenir aux variables initiales.

Exemples :

Soit le système :

$\begin{cases}
\ln x + 2\ln y = 4 \\
2\ln x - \ln y = 3
\end{cases}$

Résolution :

1. Notation simplifiée :

Posons $u = \ln x$ et $v = \ln y$. Le système devient :

$\begin{cases}
u + 2v = 4 \\
2u - v = 3
\end{cases}$

2. Résolution par combinaison :

Multiplions la première équation par $2$ :

$2u + 4v = 8$

Soustrayons la deuxième équation de celle-ci :

$(2u + 4v) - (2u - v) = 8 - 3 \implies 5v = 5 \implies v = 1$

Remplaçons $v = 1$ dans la première équation pour trouver $u$ :

$u + 2(1) = 4 \implies u + 2 = 4 \implies u = 2$

3. Retour aux logarithmes :

Puisque \(u = \ln x = 2\) et \(v = \ln y = 1\), on a :

$\ln x = 2 \implies x = e^2$

$\ln y = 1 \implies y = e^1 = e$

Solution :

$x = e^2, \quad y = e$

IV. Inéquations et systèmes d'inéquations linéaires

Représentation graphique d'une inéquation linéaire

Étape 1 : Tracer la droite correspondant à l'équation associée (en remplaçant le signe d'inégalité par $=$).
Étape 2 : Déterminer le demi-plan solution en choisissant un point test qui ne se trouve pas sur la droite et en vérifiant s'il satisfait l'inéquation.
Étape 3 : Hachurer le demi-plan solution. La droite est incluse si l'inégalité est $≤$ ou $≥$.

Représentation graphique d'un système d'inéquations :

Représenter graphiquement chaque inéquation du système sur le même plan.
L'ensemble des solutions du système est l'intersection des demi-plans solutions de chaque inéquation.

V. Applications des systèmes linéaires

Les systèmes linéaires sont utilisés dans de nombreux domaines pour modéliser et résoudre des problèmes concrets, tels que :

  • Problèmes de mélange : Déterminer les quantités de différents ingrédients à mélanger pour obtenir une composition donnée.
  • Problèmes de vitesses : Calculer des vitesses, des distances ou des temps de parcours.
  • Problèmes d'optimisation : Maximiser un profit ou minimiser un coût sous certaines contraintes.
  • Modélisation de situations réelles : Étudier des phénomènes économiques, physiques ou biologiques.