1. Vocabulaire

  • Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut prévoir le résultat. Ex. : jeter une pièce à monnaie ou un dé ; tirer $p$ boules parmi $n$ boules dans un sac….
  • Chaque résultat d’une expérience aléatoire s’appelle éventualité.
  • L’ensemble de toutes les éventualités s’appelle univers des éventualités $\Omega$.
  • Toute partie de l’univers des éventualités $\Omega$ s’appelle événement, tout événement $\rm A$ contenant une seule éventualité est appelé événement élémentaire.
  • $\Omega$ est appelé événement $c$ certain (il se réalise certainement).
  • $\varnothing$ est appelé événement impossible (il ne se réalise jamais).
  • $\rm A$ et $\rm B$ sont deux événements incompatibles s’ils ne se réalisent pas en même temps (c’est-à-dire : $\rm A \cap B = \varnothing)$.
  • $\rm A$ et $\rm B$ sont deux événements contraires si : $\rm A \cap B = \varnothing$ et $\rm A \cup B = \Omega$ et on écrit : $\rm A = \bar{B}$ ou $\rm B = \bar{A}$.

2. Probabilité sur un ensemble fini

Définition

$\Omega = \{\omega_1 \textit { ; } \omega_2 \textit { ; } \ldots \textit { ; } \omega_n\}$ l'univers des éventualités d'une expérience aléatoire. On définit une probabilité sur $\Omega$ en associant à chaque éventualité $\omega_i$ le réel $p_i$ tels que : $p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1$.
Le nombre $p_i$ est appelé la probabilité de l'événement $\{\omega_i\}$.

Propriétés

Soit $p$ une probabilité sur un univers des éventualités $\Omega$ on a :

  • $p (\Omega) = 1$ et $p (\varnothing) = 0$
  • Pour tout événement $\rm A$ on a : $0 \leq p(\mathrm A) \leq 1$
  • $\mathrm{P(A \cup B)} = p(\mathrm A) + p(\mathrm B) - p(\rm A \cap B)$
  • Si $\rm A$ et $\rm B$ sont deux événements incompatibles, alors $\mathrm{P(A \cup B)} = p(\mathrm A) + p(\mathrm B)$
  • $\rm A$ et $\rm B$ sont deux événements indépendants si $p(\mathrm{A \cap B}) = p(\mathrm A) \cdot p(\mathrm B)$
  • $p(\bar{\rm A}) = 1 - p(\rm A)$
  • La probabilité d'un événement $\rm A$ est la somme des probabilités de tous les événements élémentaires inclus dans $\rm A$.

Hypothèse de l'équiprobabilité

  • Une expérience aléatoire est soumise à l’hypothèse de l’équiprobabilité si tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
  • Sous les conditions ci-dessus ; pour tout événement $\rm A$ on a : $\displaystyle p(\rm A) = \frac{card ~A}{card ~\Omega}$
  • $card ~\rm A =$ le nombre des éventualités qui constituent $\rm A$.

Probabilité conditionnelle

$\rm A$ et $\rm B$ deux événements tels que $p(\rm B) \neq 0$ ; la probabilité de $\rm A$ sachant que $\rm B$ est réalisé est $\displaystyle p_{\rm B}(\mathrm A) = \frac{p(\mathrm{A \cap B})}{p(\rm B)}$.

3. Variable aléatoire

Soit $\Omega$ l'univers des éventualités d'une expérience aléatoire ; 

Chaque fonction $\rm X$ définie sur $\Omega$ vers l'ensemble $\mathbb R$ s'appelle variable aléatoire.
Soient $x_1 \textit { ; } x_2 \textit { ; } \ldots \textit { ; } x_n$ les valeurs prises par une variable aléatoire $\rm X$. La fonction $f$ définie sur $\{x_1 \textit { ; } x_2 \textit { ; } \ldots \textit { ; } x_n\}$ par $f(x_i) = p(\mathrm X = x_i)$ s'appelle la loi de probabilité de la variable aléatoire $\rm X$ et on a $p(\mathrm X = x_1) + p(X = x_2) + \ldots$ $+$ $p(\mathrm X = x_n) = 1$

4. Espérance mathématique, variance et l'écart type d'une variable aléatoire

Soit $\rm X$ une variable aléatoire de loi de probabilité comme l'indique le tableau ci-dessous :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & x_1 & x_2 & \ldots & x_n \\ \hline \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right) & p_1 & p_2 & \ldots & p_n \\ \hline\end{array}$

  • L'espérance mathématique est $\mathrm{E(X)} = x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + \ldots$ $+$ $x_n \cdot p_n$.
  • La variance de $\rm X$ est $\mathrm V(X) = p_1(x_1 - \mathrm{E(X)})^2 + p_2(x_2 - \rm{E(X)})^2$ $+$ $\ldots p_n(x_n - \mathrm{E(X)})^2$
  • L'écart type de $\rm X$ est $\rm\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.