Étude de fonctions usuelles

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Rappel sur les branches infinies

$f$	$(\mathrm C_f)$
$\begin{array}{l}\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=+\infty \text { ou } \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=-\infty \\ \displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=+\infty \text { ou } \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=-\infty\end{array}$	La droite $\mathrm{D} : x=a$ est asymptote à $\left(\mathrm C_f\right)$
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\mathrm L$ ou $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\mathrm L$	La droite $\mathrm{D}: y=\mathrm L$ est asymptote à $\left(\mathrm C_f\right)$
$\begin{array}{l}\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-(a x+b)]=0 \text { ou } \\ \displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty}[f(x)-(a x+b)]=0\end{array}$	La droite $\mathrm{D}: y=a x+b$ est asymptote à $\left(\mathrm C_f\right)$

Si $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}$ est infinie, alors $\left(C_f\right)$ admet une branche parabolique de direction $(\mathrm O, \vec{\jmath})$ au voisinage de $+\infty$.
Si $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \dfrac{f(x)}{x}=0$, alors $\left(\displaystyle C_f\right)$ admet une branche parabolique de direction $(\mathrm O, \vec{\imath})$ au voisinage de $+\infty$.
Si $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \dfrac{f(x)}{x}=a$, $\left(a \in \mathbb{R}^*\right)$, alors deux cas peuvent se présenter selon $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-a x]$.
- Si $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-a x]=b(a \in \mathbb{R})$, alors la droite d'équation $y=a x+b$ est une asymptote oblique à la courbe $\left(\mathrm C_f\right)$ au voisinage de $+\infty$.
- Si $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-a x]$ est infinie, alors la droite d'équation $y=a x$ est une direction asymptotique oblique à la courbe $\left(C_f\right)$ au voisinage de $+\infty$.

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Éléments de symétrie d’une courbe

Soit $f$ une fonction définie sur $\rm D$, de courbe représentative $\left(\mathrm C_f\right)$ dans un repère orthogonal.

La droite $\Delta$ : $x=a~(a \in \mathbb{R})$ est un axe de symétrie pour $\left(\mathrm C_f\right)$ si et seulement si, pour tout $x \in \rm D$, on a : $\left\{\begin{array}{l}(2 a-x) \in \mathrm D \\ f(2 a-x)=f(x)\end{array}\right.$

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(\mathrm{O}, \vec{\imath}, \vec{\jmath})$. Soit $f$ une fonction définie sur $\rm D$, de courbe représentative $\left(\mathrm C_f\right)$ et $\Omega$ le point de coordonnées $(a, b)$. Le point $\Omega$ est un centre de symétrie de $\left(\mathrm C_f\right)$ si et seulement si, pour tout $x \in \mathrm D$, on a : $\left\{\begin{array}{l}(2 a-x) \in \mathrm D \\ f(2 a-x)=2 b-f(x)\end{array}\right.$

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Fonction paire, impaire

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $\rm D$.

$f$ est paire sur $\rm D$ si et seulement si, pour tout $x$ de $\rm D$, les deux conditions suivantes sont vérifiées :
- $(-x) \in D$
- $f(-x)=f(x)$.
$f$ est impaire sur $\rm D$ si et seulement si, pour tout $x$ de $\rm D$, les deux conditions suivantes sont vérifiées :
- $(-x) \in \rm D$ et
- $f(-x)=-f(x)$.

Propriétés

Dans un repère orthogonal du plan, la courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Dans tout repère du plan, la courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.

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Fonction périodique

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $\rm D$ et $\rm T$ un réel non nul.
$f$ est périodique, de période $\bf T$, ou $\bf T$-périodique sur $\bf D$, si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

$x \in \mathrm D \Leftrightarrow(x+\rm T) \in \rm D$
pour tout $x$ de $\rm D$, $f(x+\mathrm T)=f(x)$.

Si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$, la condition 1 est automatiquement vérifiée ; il suffit donc de vérifier 2.

Propriété

Si une fonction $f$ est $\rm T$-périodique sur un ensemble $\rm D$, alors tout réel $\mathrm{T}^{\prime}=k \times \mathrm{T}$ avec $k \in \mathbb{Z}$ est aussi une période de $f$ sur $\rm D$.
Dans un repère $(\mathrm O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})$, la courbe représentative d'une fonction périodique, de période $\rm T$ est invariante par toute translation de vecteur $k \mathrm T \vec{\imath}, k \in \mathbb{Z}$.

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Cas des fonctions trigonométriques

Les fonctions $x \mapsto \cos x$ et $x \mapsto \sin x$ sont périodiques de période $2 \pi$, c'est-à-dire :

$\cos (x+2 \pi)=\cos x$ et $\sin (x+2 \pi)=\sin x$

La fonction $x \mapsto \tan x$ est périodique de période $\pi$, c'est-à-dire :

$\tan (x+\pi)=\tan x$

Plus généralement :

Les fonctions $x \mapsto \cos (a x+b)$ et $x \mapsto \sin (a x+b)$ ont pour période $\mathrm T=\dfrac{2 \pi}{|a|}$

La fonction $x \mapsto \tan (a x+b)$ a pour période $\mathrm T=\dfrac{\pi}{|a|}$

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Réduction de domaine d’étude

Si $f$ est $\rm T$-périodique alors, on peut restreindre le domaine d'étude à tout domaine du type $[a, a+\mathrm T] \cap \mathrm D_f$ pour tout réel $a$, ainsi, on obtient la courbe complète de $f$.
Si $f$ est $\rm T$-périodique et paire (resp. impaire) alors, on peut restreindre le domaine d'étude à l'ensemble $\left[0~ ; \dfrac{\rm T}{2}\right] \cap \mathrm D_f$ ainsi, on obtient la courbe complète sur $\left[-\dfrac{\mathrm T}{2} ~; \dfrac{\mathrm T}{2}\right] \cap \mathrm D_f$ par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées (resp. par symétrie par rapport à $\mathrm O$ origine du repère).
Si $f$ est $\rm T$-périodique et $\mathrm C_f$ admet un axe de symétrie $\Delta$ (resp. un centre de symétrie $\mathrm I$) alors, on peut restreindre le domaine d'étude au domaine $\left[a~ ; a+\dfrac{\mathrm T}{2}\right] \cap \mathrm D_f$ ou au domaine $\left[a-\dfrac{\mathrm T}{2}~ ; a\right] \cap \mathrm D_f$ ainsi, on obtient la courbe complète sur $\left[a-\dfrac{\mathrm T}{2} ; a+\dfrac{\rm T}{2}\right] \cap \mathrm D_f$ par symétrie par rapport à l'axe $\Delta$ (resp. par symétrie par rapport un point $\mathrm I$).

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Exemples d’études de fonction

Fonction polynôme

$f: x \mapsto \dfrac{1}{8} x^3+x+4$

La fonction dérivée de $f$ est définie par : $f^{\prime}(x)=\dfrac{3}{8} x^2+1$.

Le lecteur est invité à vérifier que la fonction a le tableau de variation et la courbe ci-dessous. $\mathrm C_2$ désigne la courbe de $f^{-1}$.

Fonction rationnelle

$f: x \mapsto \dfrac{2 x^2+x-4}{x-1}$

Le lecteur vérifiera que $f(x)$ peut se mettre sous la forme : $2 x+3-\dfrac{1}{x-1}$, que l'expression de la dérivée est $f^{\prime}(x)=2+\dfrac{1}{(x-1)^2}$, et que la fonction a le tableau de variation et la courbe ci-dessous.

Une autre fonction rationnelle

$f: x \mapsto \dfrac{1}{(x+3)(x-2)}$

Le lecteur vérifiera que $f(x)$ peut se mettre sous la forme : $\dfrac{1}{5(x-2)} -\dfrac{1}{5(x+3)^{\prime}}$ que l'expression de la dérivée est $f^{\prime}(x)=\dfrac{-2 x-1}{(x-2)^2(x+3)^2}$, et que la fonction a le tableau de variation et la courbe ci-dessous.

Fonction irrationnelle

$f: x \mapsto x+\sqrt{x^2-1}$

Le lecteur vérifiera que la droite d'équation $y=2 x$ est asymptote à $\left(\mathrm C_f\right)$ et que l'expression de la dérivée est $f^{\prime}(x)=\dfrac{f(x)}{\sqrt{x^2-1}}$. Le tableau de variation et la courbe ont l'allure ci-dessous.