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Dans le référentiel héliocentrique, le centre de chaque planète décrit une trajectoire elliptique dont le Soleil S est l'un des foyers.
Le rayon vecteur SM qui relie la planète M au Soleil S balaie des aires égales en des temps égaux.
La relation mathématique s'exprime par : $\dfrac{\rm T^2}{a^3} = \dfrac{4\pi^2}{\rm G.M_S}$
Système : Terre de masse $\rm M_T$
Référentiel : héliocentrique supposé galiléen
La force gravitationnelle s'exerçant sur la Terre est donnée par :
$$\boxed{\rm \vec F = G\dfrac{M_TM_S}{R^2}\overrightarrow{\mathcal u_N}}$$
| F en N |
| M en kg |
| R en m |
| $\rm G = 6,67 \cdot 10^{-11}$ S.I. |
La deuxième loi de Newton s'écrit :
$$\rm \sum \vec F = \vec F = M_T \cdot \mathcal{\vec a}$$
En développant cette équation :
$\rm \vec F = m\mathcal{\vec a} \Leftrightarrow \dfrac{G.M_TM_S}{R^2}\overrightarrow{\mathcal u_N} = M_T(\mathcal a_N\overrightarrow{\mathcal u_T} + \mathcal a_N\overrightarrow{\mathcal u_N})$
Donc, par identification :
$$\left\{\begin{array}{lll}\rm M_T.\mathcal a_N = \dfrac{G.M_T.M_S}{R^2}\\ \rm M_T.\mathcal a_N = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}a_{\rm N} \rm = \dfrac{G.M_T.M_S}{R^2}\\a_{\rm N} = 0\end{array}\right.$$
Or si $a_{\rm N} = 0$ alors $\dfrac{\mathrm dv}{\mathrm dt} = 0$ car par définition $a_{\rm N} = \dfrac{\mathrm dv}{\mathrm dt}$.
Comme $\dfrac{\mathrm dv}{\mathrm dt} = 0$ alors la norme de la vitesse est constante.
Ainsi, si la trajectoire d'un objet en orbite gravitationnelle est circulaire alors son mouvement est uniforme.
Comme $a_{\rm N} = \dfrac{v^2}{\rm R}$, on a donc :
$$\dfrac{v^2}{\rm R} = \rm \dfrac{G.M_S}{R^2} \Leftrightarrow \boxed{v = \rm\sqrt{\dfrac{G.M_S}{R}}}$$
| $v$ en $\rm m.s^{-1}$ |
| $\rm M_S$ en kg |
| R en m |
| $\rm G = 6,67\cdot 10^{-11}$ S.I. |
La période de révolution $\rm T$ est le temps nécessaire à l'objet (ici la Terre) pour faire un tour sur son orbite. La longueur $\rm L$ d'une orbite est égale au périmètre du cercle, soit : $\rm L = 2 \pi R$
Donc $v = \dfrac{\rm L}{\Delta t} = \rm \dfrac{2\pi R}{T}$ donc :
$$\rm T = 2\pi \sqrt{\dfrac{R^3}{GM_S}}$$
en utilisant l'expression de $v$ trouvée précédemment.
