Lois discrètes

Loi de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire dont l'univers associé peut être résumé à deux choix que l'on nommera « succès » et « échec » de probabilités respectives $p$ et $q=1-p$.

La variable aléatoire $\rm X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ (avec $p\in ]0 ;1[$) si :

• $\rm P(X=0)=1-p$
• $P(X=1)=p$

On note $\mathrm X\sim \mathcal{B}(p)$.

Caractéristiques de la loi de Bernoulli

• Espérance : $\mathrm{E(X)}=p$
• Variance : $\mathrm{V(X)}=p(1-p)$
• Écart-type : $\sigma(\mathrm X)=\sqrt{p(1-p)}$

Loi binomiale

Lorsque l'on répète des épreuves de Bernoulli identiques $n$ fois avec des résultats indépendants les uns des autres, on obtient un schéma de Bernoulli.

La variable aléatoire $\rm X$, comptant le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli, suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ (avec $n\in\mathbb N^*$ et $p\in ]0~ ;1[$) si :

Pour tout $k\in [|0,n|]$, $$\mathrm{P(X}=k) = \Big(\begin{array}{ll}n\\k \end{array}\Big) p^k(1-p)^{n-k} = \mathrm C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$$

On note $X\sim \mathcal{B}(n,p)$.

Caractéristiques de la loi binomiale

• Espérance : $\mathrm{E(X)}=np$
• Variance : $\mathrm{V(X)}=np(1-p)=npq$
• Écart-type : $\sigma(\mathrm X)=\sqrt{npq}$

Coefficients binomiaux

Les coefficients binomiaux sont définis par les formules suivantes :

• $\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p\end{matrix}\Big)=\frac{n !}{p !(n-p) !}$
• $\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\0\end{matrix}\Big)=1$
• $\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\1\end{matrix}\Big)=n$
• $\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\n\end{matrix}\Big)=1$
• $\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p\end{matrix}\Big)=\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\n-p\end{matrix}\Big)$ (propriété de symétrie)

Formule du triangle de Pascal

La formule du triangle de Pascal permet de calculer les coefficients binomiaux de manière récursive :

$$\displaystyle \Big(\begin{matrix}n+1\\p\end{matrix}\Big)=\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p\end{matrix}\Big)+\displaystyle \Big(\begin{matrix}n\\p-1\end{matrix}\Big)$$

Loi uniforme

La variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur $[1;n]$ si :

$$P(X=k)=\frac{1}{n}$$

Espérance et variance

On a : $$E(X)=\frac{n+1}{2}$$

$$V(X)=\frac{n^2-1}{12}$$

Loi géométrique

La variable aléatoire $X$ suit une loi géométrique de paramètre $p$ ($p\in ]0;1[$) si :

$X(\Omega)=\mathbb{N}^*$

$$P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$$

Notation et espérance

On note $X\sim \mathcal{G}(p)$.

$$E(X)=\frac{1}{p}$$

Propriété sans mémoire

La loi géométrique est une « loi sans mémoire » : $$P(X>n+m|X>n)=P(X>m)$$