On peut étudier la limite d'une fonction en un point de son intervalle de définition ou aux bornes de son ensemble de définition (valeur finie ou à l'infini). On a deux cas possibles :
la limite existe et est finie ;
la limite est infinie ou n'existe pas.
Étude de la limite d'une fonction
Pour étudier la limite d'une fonction, on peut :
Utiliser les propriétés sur les limites des fonctions de référence ;
Utiliser les opérations sur les limites ;
Utiliser les théorèmes de majoration/minoration ;
Encadrer la fonction par deux fonctions qui ont la même limite (théorème des gendarmes).
Elle existe lorsque la limite quand $x$ tend vers $\pm \infty$ est finie (un réel $k$). L'asymptote horizontale a alors pour équation $y = k$ en $\pm \infty$.
La droite d'équation $y = 2$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
Asymptote verticale
Elle existe lorsque la limite quand $x$ tend vers $k$ (une valeur interdite) est infinie ($\pm \infty$). L'asymptote verticale a alors pour équation $x = k$.
On dit qu'une fonction $f$ est continue sur un intervalle $\rm I$ de $\mathbb{R}$ si elle est définie sur $\rm I$ et si on peut tracer sa courbe représentative d'un trait continu, sans lever le crayon.
Exemples de fonctions continues
Voici les principales catégories de fonctions continues et leurs domaines de continuité :
Les fonctions usuelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition.
Les fonctions affines sont continues sur $\mathbb{R}$.
La fonction carré est continue sur $\mathbb{R}$.
La fonction inverse est continue sur $]-\infty~ ; 0[$ et sur $]0~ ; +\infty[$.
La fonction racine carrée est continue sur $[0~ ; +\infty[$.
Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$.
Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition.
Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a~ ; b]$ toutes les valeurs comprises entre $f(a)$ et $f(b)$ sont atteintes au moins une fois.
Théorème 2 dit « de la valeur intermédiaire »
Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a~ ; b]$ quel que soit le nombre $c$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique nombre $\alpha$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(\alpha) = c$.
Différences entre les deux théorèmes
Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'au moins une solution, tandis que le théorème de la valeur intermédiaire garantit l'existence et l'unicité de la solution grâce à la condition de stricte monotonie.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ contenant $x_0$. On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ si le quotient $\displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$.
Cette limite est le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ et se note $f'(x_0)$. On a donc :
Pour calculer le nombre dérivé d'une fonction $f$ dérivable en $x_0$ on calcule $f'(x_0)$.
Point de vue graphique du nombre dérivé
Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un point d'abscisse $x_0$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0$.
Équation de la tangente à une courbe en un point
La tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $x_0$ a pour équation :
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$ de $\mathbb{R}$ alors $u + v$ est dérivable sur $\rm I$ et on a :
$(u + v)' = u' + v'$
Dérivée d'un produit par un réel
Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et si $k$ est un réel alors la fonction $k \times u$ est dérivable sur $\rm I$ et on a :
$(k \times u)' = k \times u'$
Dérivée d'un produit
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$ de $\mathbb{R}$ alors $u \times v$ est dérivable sur $\rm I$ et on a :
$(u \times v)' = u' \times v + u \times v'$
En particulier si $v = u$, on a $(u^2)'=2u'u$.
Dérivée d'un quotient
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $\rm I$ et si $v(x) \neq 0$ pour tout $x$ de $I$ alors $\displaystyle \frac{u}{v}$ est dérivable sur $\rm I$ et on a :
$\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' v - u v'}{{v}^2}$
En particulier, $\displaystyle \left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{{v}^2}$.
Dérivée d'une composée
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $\rm I$ par $u(x) = g(ax + b)$ ($a$ et $b$ deux réels, $ax + b \in \rm J$ un intervalle et $g$ dérivable sur $\rm J$).
Si $u$ est dérivable sur $\rm I$, alors $u'(x) = ag'(ax+b)$.
Dérivée de $\mathrm e^u$
Pour une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $\rm I$, $\mathrm e^{u}$ est dérivable sur $\rm I$ et on a :
$(\mathrm e^{u})' = u' \times \mathrm e^{u}$ sur cet intervalle.
En particulier, la dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle.
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