Produit scalaire

Le produit scalaire dans un repère orthonormé

Pour tout ce qui suit, on munit l'espace d'un repère orthonormé (O ; $\vec{i}$ ; $\vec{j}$).

Définition du produit scalaire

Pour $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x' ; y')$ deux vecteurs non nuls du plan, le produit scalaire est défini par :

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \| \vec{u} \| \| \vec{v} \| \cos(\vec{u} ; \vec{v})$$

Si l'un des deux vecteurs est nul, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé

Pour $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x' ; y')$ deux vecteurs du plan, l'expression analytique du produit scalaire est :

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$$

Cette expression donne un nombre réel.

Formules d'Al-Kashi

Soit $\rm ABC$ un triangle quelconque. Les formules d'Al-Kashi permettent de calculer la longueur d'un côté en fonction des deux autres côtés et de l'angle compris entre eux :

• $\rm BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \times AC \cos(\hat A)$
• $\rm AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC \times BC \cos(\hat C)$
• $\rm AC^2 = AB^2+ BC^2 - 2AB \times BC \cos(\hat B)$

Norme d'un vecteur

Pour $\vec{u}(x~ ; y)$ un vecteur du plan, la norme se calcule par la formule :

$$\Vert \vec{u}\Vert = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$$

Distance entre deux points

Pour $\mathrm A(x_{\mathrm{A}}~ ; y_{\mathrm{A}})$ et $\mathrm B(x_{\mathrm{B}} ~; y_{\mathrm{B}})$ deux points du plan, la distance entre ces points est :

$$\mathrm{AB} = \sqrt{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}} = \sqrt{{(x_{\mathrm{B}} - x_{\mathrm{A}})}^2 + {(y_{\mathrm{B}} - y_{\mathrm{A}})}^2}$$

Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs de l'espace sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Équation de droite avec un vecteur normal

Une droite est définie par la donnée d'un de ses points et d'un de ses vecteurs normaux.

Propriété directe

Si une droite $(D)$ a pour équation cartésienne $ax + by + c = 0$ ($a$, $b$ et $c$ réels, $(a ~; b)\neq (0 ; 0)$) alors $\vec{n}(a~ ; b)$ est un vecteur normal à $(D)$.

Propriété réciproque

Réciproquement, si $\vec{n}(a~; b)$ ($a$ et $b$ réels, $(a~ ; b) \neq(0 ; 0)$) est un vecteur normal à $(D)$, alors une équation cartésienne de la droite $(D)$ est de la forme $ax + by + c = 0$ avec $c$ réel.