Probabilités conditionnelles

Opérations sur les événements

Intersection de deux événements

L'intersection de deux événements $A$ et $B$ est notée $A \cap B$ ("$A$ inter $B$"). $A \cap B$ correspond à l'événement "$A$ et $B$".

Événements incompatibles

Lorsqu'aucune issue ne réalise $A$ et $B$, c'est-à-dire $A \cap B = \emptyset$, on dit que $A$ et $B$ sont incompatibles.

Événements indépendants

Si $A$ et $B$ sont indépendants, on a :

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

Réunion de deux événements

La réunion de deux événements $A$ et $B$ est notée $A \cup B$ ("$A$ union $B$"). $A \cup B$ correspond à l'événement "$A$ ou $B$".

Propriétés

Formule générale :

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Cas particulier : Si $A$ et $B$ sont incompatibles, on a :

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Probabilité conditionnelle

Soit $A$ et $B$ deux événements ($A$ de probabilité non nulle). La probabilité conditionnelle de l'événement $B$ sachant que l'événement $A$ est réalisé est :

$$\mathrm{P}_{A} (B) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}$$

Représentation par arbre pondéré

On peut représenter la situation d'une expérience aléatoire par un arbre pondéré.

Dans cet exemple, on a :

$\mathrm{P}_A (B) = 0,6$    $\mathrm{P}_A (\bar{B}) = 0,4$    $\mathrm{P}_{\bar{A}} (B) = 0,7$    $\mathrm{P}_{\bar{A}} (\bar{B}) = 0,3$

Calcul des probabilités d'intersection

On a aussi, par exemple :

$\mathrm{P}(A \cap B) = {\mathrm{P}}_A (B) \times \mathrm{P}(A) = 0,6 \times 0,2 = 0,12$

et

$\mathrm{P}(\bar{A} \cap B) = {\mathrm{P}}_{\bar{A}} (B) \times \mathrm{P}(\bar{A}) = 0,7 \times 0,8 = 0,56$

Formule des probabilités totales

Soient A et B deux événements tels que A, $\bar{A}$, B et $\bar{B}$ sont de probabilités non nulles. A ∩ B et $\bar{A}$ ∩ B forment une partition de l'événement B et on a :

$$\begin{array}{ll} \rm P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)\\ \rm P(B) = P_A(B) \times P(A) + P_{\bar{A}}(B) \times P(\bar{A}) \end{array}$$

Exemple

On a vu que :

$$\rm P(A \cap B) = P_A(B) \times P(A) = 0,6 \times 0,2 = 0,12$$

et

$$\rm P(\bar{A} \cap B) = P_{\bar{A}}(B) \times P(\bar{A}) = 0,7 \times 0,8 = 0,56$$

D'après la formule des probabilités totales :

$$\rm P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B) = 0,12 + 0,56 = 0,68$$