Géométrie repérée

Géométrie analytique dans un repère orthonormé

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k \vec{v}$.

Pour des vecteurs $\vec{u}(x~ ; y)$ et $\vec{v}(x'~ ; y')$, ils sont colinéaires si et seulement si $xy' - yx' = 0$ (égalité des produits en croix).

Équation de droite avec un vecteur directeur

Une droite est définie par la donnée d'un de ses points et d'un de ses vecteurs directeurs.

Si une droite $(D)$ a pour équation cartésienne $ax + by + c = 0$ (avec $a$, $b$ et $c$ réels, $(a ~; b)\neq (0 ; 0)$), alors $\vec{u}(-b~ ; a)$ est un vecteur directeur de $(D)$.

Réciproquement, si $\vec{u}(-b ~; a)$ (avec $a$ et $b$ réels, $(a~ ; b) \neq(0 ; 0)$) est un vecteur directeur de $(D)$, alors une équation cartésienne de la droite $(D)$ est de la forme $ax + by + c = 0$ avec $c$ réel.

Équation de droite avec un vecteur normal

Une droite est définie par la donnée d'un de ses points et d'un de ses vecteurs normaux.

Si une droite $(D)$ a pour équation cartésienne $ax + by + c = 0$ (avec $a$, $b$ et $c$ réels, $(a~ ; b) \neq (0 ; 0)$), alors $\vec{n} (a ~; b)$ est un vecteur normal à $(D)$.

Réciproquement, si $\vec{n}(a~ ; b)$ (avec $a$ et $b$ réels, $(a~; b ) \neq (0 ; 0)$) est un vecteur normal à $(D)$, alors une équation cartésienne de la droite $(D)$ est de la forme $ax + by + c = 0$ avec $c$ réel.

Équation de cercle

Cercle défini par deux points

Soient $A$ et $B$ deux points distincts. L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $\rm[AB]$.

Équation cartésienne du cercle

Soit un point $\Omega(x_0 ; y_0)$ et $R > 0$ un réel. Le cercle de centre $\Omega(x_0 ; y_0)$ et de rayon $R > 0$ admet pour équation cartésienne l'équation ${(x - x_0)}^2 + {(y-y_0)}^2 = R^2$.

Réciproquement, une équation de la forme ${(x - x_0)}^2 + {(y-y_0)}^2 = R^2$ est une équation cartésienne du cercle de centre $\Omega(x_0 ; y_0)$ et de rayon $R > 0$.

Équation de parabole

Définition

Une parabole est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a\neq 0$, $b$ et $c$ trois réels).

Propriétés géométriques

Elle admet pour axe de symétrie la droite d'équation $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$ et pour sommet le point $\displaystyle S\left(-\frac{b}{2a}~;~f(-\frac{b}{2a}) = \frac{-b^2+4ac}{4a}\right)$.