Dérivation 1

Dérivabilité d'une fonction

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ contenant $x_0$. On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ si le quotient $\displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$.

Nombre dérivé

Cette limite est le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ et se note $f'(x_0)$. On a donc :

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = f'(x_0)$$

Calcul du nombre dérivé

Pour calculer le nombre dérivé d'une fonction $f$ dérivable en $x_0$ on calcule $f'(x_0)$.

Point de vue graphique du nombre dérivé

Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un point d'abscisse $x_0$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0$.

Équation de la tangente à une courbe en un point

La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $x_0$ a pour équation :

$$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$

Dérivées des fonctions usuelles

Fonction racine carrée

La fonction racine carrée ($x\mapsto \sqrt{x}$) est dérivable sur l'intervalle ]0 ; $+\infty$[ et sa dérivée est la fonction $\displaystyle x\mapsto \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Fonction inverse

La fonction inverse ($\displaystyle x\mapsto \frac{1}{x}$) est dérivable sur les intervalles ]$-\infty$ ; 0[ et ]0 ; $+\infty$[ et sa dérivée est la fonction $\displaystyle x\mapsto -\frac{1}{x^2}$.

Fonctions puissance

Les fonctions puissance ($x\mapsto x^n$, $n\in {\mathbb{N}}^*$) sont dérivables sur l'intervalle ]$-\infty$ ; $+\infty$[ et, pour $n$ fixé, leur dérivée est la fonction $x\mapsto n x^{n-1}$.

Fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue ($x\mapsto \mid x \mid$) est définie sur $\mathbb{R}$ par $x\mapsto x$ si $x\geq 0$ et $x\mapsto -x$ si $x < 0$.

Elle est dérivable sur ${\mathbb{R}}^*$ (donc n'est pas dérivable en 0) et sa dérivée est la fonction définie par $x\mapsto 1$ si $x > 0$ et $x\mapsto -1$ si $x < 0$.

Règles de dérivation

Dérivée d'une somme

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ alors $u + v$ est dérivable sur $I$ et on a :

$(u + v)' = u' + v'$

Dérivée d'un produit par un réel

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et si $k$ est un réel alors la fonction $k \times u$ est dérivable sur $I$ et on a :

$(k \times u)' = k \times u'$

Dérivée d'un produit

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ alors $u \times v$ est dérivable sur $I$ et on a :

$(u \times v)' = u' \times v + u \times v'$

Dérivée d'un quotient

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et si $v(x) \neq 0$ pour tout $x$ de $I$ alors $\frac{u}{v}$ est dérivable sur $I$ et on a :

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' v - u v'}{v^2}$$

Cas particulier

En particulier :

$$\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}$$

Dérivée d'une composée

Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ par $u(x) = g(ax + b)$ ($a$ et $b$ deux réels, $ax + b \in J$ un intervalle et $g$ dérivable sur $J$).

Si $u$ est dérivable sur $I$, alors :

$u'(x) = ag'(ax+b)$

Sens de variation d'une fonction dérivable

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.

Fonction strictement croissante

Si $f'(x) > 0$ pour tout $x\in I$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $I$.

Fonction strictement décroissante

Si $f'(x) < 0$ pour tout $x\in I$, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $I$.

Extremum d'une fonction

Soit $a\in I$ qui est distinct des extrémités de $I$.

Condition d'extremum local

$a$ est un extremum local pour la fonction $f$ si et seulement si $f'(a) = 0$ et $f'$ change de signe en $a$.