Résoudre des problèmes de géométrie

Théorèmes fondamentaux de géométrie

Pythagore et réciproque

Dans le triangle $\rm ABC$ rectangle en $\rm A$, on a ${\mathrm{BC}}^2 = {\mathrm{AB}}^2 + {\mathrm{AC}}^2$.

Réciproquement, si ${\mathrm{BC}}^2 = {\mathrm{AB}}^2 + {\mathrm{AC}}^2$ alors le triangle $\rm ABC$ est rectangle en A.

Thalès et réciproque

Soit $\rm A$, $\rm M$ et $\rm B$ trois points alignés et $\rm A$, $\rm N$ et $\rm C$ trois autres points alignés dans le même ordre.

Si les droites $\rm (BC)$ et $\rm (MN)$ sont parallèles, alors on a $\displaystyle \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}} = \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{BC}}$.

Réciproquement, si pour $\rm A$, $\rm M$ et $\rm B$ des points alignés et $\rm A$, $\rm N$ et $\rm C$ d'autres points alignés dans le même ordre, on a l'égalité $\displaystyle \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}$, alors les droites $\rm (BC)$ et $\rm (MN)$ sont parallèles.

Le parallélogramme et ses propriétés

Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles et de même longueur, et dont les diagonales se coupent en leur milieu.

Les quadrilatères particuliers

En plus de ces propriétés, certains quadrilatères possèdent des caractéristiques spécifiques :

• Le rectangle a quatre angles droits et des diagonales de même longueur ;
• Le losange a ses quatre côtés de même longueur et des diagonales qui se coupent perpendiculairement en leur milieu ;
• Le carré a quatre angles droits, quatre côtés de même longueur et des diagonales de même longueur qui se coupent perpendiculairement en leur milieu.