Coordonnées et vecteurs du plan

Géométrie analytique dans le plan

On munit le plan d'un repère orthonormal $\rm (O ~; I~ ; J)$.

Distance de deux points

La distance entre les points $\mathrm A(x_{\mathrm{A}} ; y_{\mathrm{A}})$ et $\mathrm B(x_{\mathrm{B}} ; y_{\mathrm{B}})$ est donnée par la formule suivante :

$$\mathrm{AB} = \sqrt{{(x_{\mathrm{B}}- x_{\mathrm{A}})}^2+{(y_{\mathrm{B}}- y_{\mathrm{A}})}^2}$$

Milieu d'un segment

Le milieu $\rm I$ du segment $\rm [AB]$ avec $\mathrm A(x_{\mathrm{A}} ; y_{\mathrm{A}})$ et $\mathrm B(x_{\mathrm{B}} ; y_{\mathrm{B}})$ a pour coordonnées :

$$\mathrm I\left(\displaystyle \frac{x_{\mathrm{A}} + x_{\mathrm{B}}}{2}~ ; \frac{y_{\mathrm{A}} + y_{\mathrm{B}}}{2}\right)$$

Vecteurs dans le plan

On munit le plan d'un repère orthonormal $(\mathrm O~ ; \vec{i}~ ; \vec{j})$.

Définition d'un vecteur

Pour deux points de l'espace $\rm A$ et $\rm B$, le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ est défini par sa direction (la droite $(AB)$), son sens (de $\rm A$ vers $\rm B$) et sa longueur $\rm AB = \| \overrightarrow{AB} \|$.

Coordonnées de vecteurs

Pour $\mathrm A({x}_{\mathrm{A}}~ ; {y}_{\mathrm{A}})$ et $\mathrm B({x}_{\mathrm{B}}~ ; {y}_{\mathrm{B}})$ deux points du plan et $\alpha$ un réel, on a :

• Coordonnées du vecteur : $\overrightarrow{\mathrm{AB}}({x}_{\mathrm{B}} - {x}_{\mathrm{A}}~ ; {y}_{\mathrm{B}} - {y}_{\mathrm{A}})$
• Multiplication par un scalaire : $\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}} (\alpha({x}_{\mathrm{B}} - {x}_{\mathrm{A}})~ ; \alpha({y}_{\mathrm{B}} - {y}_{\mathrm{A}}))$
• Addition de vecteurs : Pour $\vec{u}(x~ ; y)$ et $\vec{v}(x'~ ; y')$ deux vecteurs du plan : $\vec{u} + \vec{v} = (x + x'~ ; y + y')$

Vecteurs colinéaires et points alignés

Les concepts de colinéarité et d'alignement sont fondamentaux en géométrie vectorielle.

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un nombre réel $k$ tel que $\vec{u} = k \vec{v}$. Pour des vecteurs $\vec{u}(x ~; y)$ et $\vec{v}(x' ~; y')$, ils sont colinéaires si et seulement si $xy' - yx' = 0$ (égalité des produits en croix).

Points alignés

Trois points du plan $\rm A$, $\rm B$ et $\rm C$, deux à deux différents, sont alignés si et seulement si $\rm \overrightarrow{AB}$ et $\rm \overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.