Calcul littéral

Développement

Développer une expression, c'est la transformer d'un produit en une somme :

Pour tous les nombres $a$, $b$, $c$ et $d$, $(a + b)\times (c + d) = a \times c + a\times d + b\times c + b\times d$.

Lorsque l'on a ordonné les termes selon les puissances décroissantes de $x$, on dit que l'on a réduit l'expression.

Factorisation

Factoriser une expression, c'est la transformer d'une somme en un produit de facteurs : on utilise la formule de développement dans l'autre sens.

Identités remarquables

Pour $a$ et $b$ deux nombres :

Elles peuvent servir à développer ou à factoriser une expression.

Propriétés des racines carrées

Formules fondamentales

Pour $a$ et $b$ deux nombres positifs, nous avons les propriétés suivantes :

• $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
• $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (avec $b$ non nul)

Applications pratiques

• $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
• $\displaystyle \sqrt{\frac{7}{9}} = \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}} = \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{3}$

Simplification d'une racine carrée

Pour écrire $\sqrt{75}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers et où $b$ est le plus petit possible, on décompose $75 = 3\times 25$ où 25 est un carré parfait.

Ainsi : $\sqrt{75} = \sqrt{3 \times 25} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.

Erreur courante à éviter

Attention : $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$

Par exemple : $\sqrt{16} +\sqrt{9} = 4 + 3 = 7$ mais $\sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.

Equation produit

Définition

Si $\rm A$ et $\rm B$ sont des expressions du premier degré, $\rm A \times B = 0$ est une équation-produit.

Méthode de résolution

Pour la résoudre, on utilise la propriété suivante : « un produit est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul ».

Donc $\rm A \times B = 0$ équivaut à $\rm A = 0$ ou $\rm B = 0$.

Inéquation du premier degré à une inconnue

Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue, on utilise les propriétés suivantes :

Propriétés de résolution

• Une inégalité ne change pas de sens quand on additionne ou on soustrait le même nombre aux deux membres.
• Une inégalité ne change pas de sens quand on multiplie ou on divise par le même nombre positif (non nul pour la division) les deux membres.
• Une inégalité change de sens quand on multiplie ou on divise par le même nombre négatif (non nul pour la division) les deux membres.

Propriétés des puissances

Propriétés de base

Soit $a$ un nombre non nul. On a les propriétés fondamentales suivantes : $a^0 = 1$ et $a^1 = a$.

Propriétés générales des puissances

Pour tous les nombres non nuls $a$ et $b$, et tous $m$ et $n$ nombres entiers relatifs, nous avons les propriétés suivantes :

• $3^2 \times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$ (produit de puissances)
• $\displaystyle\frac{2^3}{2^2} = 2^{3-2} = 2^1 = 2$ (quotient de puissances)
• ${(3\times 5)}^4 = 3^4 \times 5^4$ (puissance d'un produit)