Dérivation

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ contenant $x_0$. On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ si le quotient $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ admet une limite finie quand h tend vers 0.

Cette limite est le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ et se note $f'(x_0)$. On a donc :

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = f'(x_0)$$

Calcul du nombre dérivé

Pour calculer le nombre dérivé d'une fonction $f$ dérivable en $x_0$ on calcule $f'(x_0)$. Cette valeur nous donne des informations importantes sur le comportement local de la fonction.

Point de vue graphique du nombre dérivé

Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un point d'abscisse $x_0$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0$. Cette interprétation géométrique permet de visualiser concrètement la notion de dérivée.

Dérivée des fonctions usuelles

Fonction carré

La fonction carré ($x\mapsto x^2$) est dérivable sur l'intervalle $]-\infty ; +\infty[$ et sa dérivée est la fonction $x\mapsto 2x$.

Fonction cube

La fonction cube ($x\mapsto x^3$) est dérivable sur l'intervalle $]-\infty ; +\infty[$ et sa dérivée est la fonction $x\mapsto 3x^2$.

Règles de dérivation

Dérivée d'une somme

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. La fonction $u + v$ est dérivable sur $I$ et :

$(u + v)' = u' + v'$

Dérivée d'un produit par un réel

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $k$ un nombre réel. La fonction $k \times u$ est dérivable sur $I$ et :

$(k \times u)' = k \times u'$

Dérivée et variations

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.

Fonction strictement croissante

Si $f'(x) > 0$ pour tout $x \in I$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $I$.

Fonction strictement décroissante

Si $f'(x) < 0$ pour tout $x \in I$, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $I$.

Extremum d'une fonction

Soit $a \in I$ qui est distinct des extrémités de $I$.

Condition d'extremum local

$a$ est un extremum local pour la fonction $f$ si et seulement si $f'(a) = 0$ et $f'$ change de signe en $a$.

Tableau de dérivées

Ce tableau présente les formules de dérivation essentielles pour le calcul différentiel. Il regroupe les dérivées des fonctions usuelles ainsi que les règles de dérivation fondamentales.

Utilisation du tableau

Ce tableau de référence permet de retrouver rapidement les dérivées des fonctions de base et d'appliquer les règles de dérivation pour des fonctions plus complexes. Il constitue un outil indispensable pour résoudre les exercices de calcul différentiel.