Les lois de Newton

1ère loi de Newton : Principe d'inertie

Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si les forces qui s'exercent sur lui se compensent (l'« état » du corps dépend des conditions initiales).

2e loi de Newton : Principe fondamental de la dynamique

Cette loi établit la relation fondamentale entre les forces appliquées à un corps et son accélération.

$$\boxed{\displaystyle \rm \sum \overrightarrow{F_{ext}} = m\vec{\mathcal a}}$$

3e loi de Newton : Principe d'action réaction

Si un corps $\rm A$ exerce sur un corps $\rm B$ une force $\rm \overrightarrow{F}_{A/B}$, alors $\rm B$ exerce sur $\rm A$ une force $\rm \overrightarrow{F}_{B/A}$ telle que :

$$\rm \overrightarrow{F}_{A/B} = \overrightarrow{-F}_{B/A}$$

Que les actions mécaniques entre $\bf A$ et $\bf B$ soient de contact ou à distance, que ces corps soient en mouvement ou immobiles, ces deux forces ont la même direction d'action : la droite $\rm (AB)$ ; la même intensité $\rm (F_{A/B} = F_{B/A})$ mais des sens opposés.

Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme

Définition du système d'étude

Système : balle de masse $\rm m$

Référentiel : terrestre supposé galiléen

Bilan des forces : poids de la balle

Application de la 2e loi de Newton

  • $\displaystyle \rm \sum \overrightarrow{F_{ext}} = m\cdot \overrightarrow{\mathcal{a(t)}}$
  • $\rm \vec P = m\cdot \overrightarrow{\mathcal{a(t)}}$
  • $\mathrm m \cdot \vec g = \mathrm m\cdot \overrightarrow{a(t)}$
  • $\overrightarrow{a(t)} = \vec g = \overrightarrow{\rm cte}$

Projection sur les trois axes

On projette sur les 3 axes pour analyser le mouvement dans chaque direction.

Sur Ox
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$\scriptstyle a_x = 0$
--------
D'où en primitivant : $\scriptstyle v_x = \rm cste_1$
$\scriptstyle\mathrm{Cl}$ : $\scriptstyle v_x(t=0)=0=\rm cste_1$ d'où $\scriptstyle\boxed{\scriptstyle v_x(t) = 0}$
--------
D'où en primitivant : $\scriptstyle x = \mathrm{cste_4} = x(t=0)=0$ d'où $\scriptstyle \boxed{\scriptstyle x(t)=0}$
Sur Oy
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$\scriptstyle a_y = 0$
--------
D'où en primitivant : $\scriptstyle v_y = \rm cste_2$
$\scriptstyle\rm Cl$ : $\scriptstyle v_y(t=0)$ $\scriptstyle =v_0\times \cos \alpha$ $\scriptstyle = \rm cste_2$ d'où $\scriptstyle\boxed{\scriptstyle v_y(t) = v_0 \cos \alpha}$
--------
D'où en primitivant : $\scriptstyle y = v_0 \times \cos \alpha \times t + \rm cste_5$ d'où $\scriptstyle\boxed{\scriptstyle y(t) = v_0 \times \cos \alpha \times t~~(1)}$
Sur Oz
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$\scriptstyle a_z = -g$
--------
D'où en primitivant : $\scriptstyle v_z = -g \times t + \rm cste_3$
$\scriptstyle\rm Cl$ : $\scriptstyle v_z(t=0) = \mathrm{cste_3} = v_0 \times \sin \alpha$ d'où $\scriptstyle\boxed{\scriptstyle v_z(t) = -g \times t + v_0 \times \sin \alpha}$
--------
D'où en primitivant : $\scriptstyle z = -1/2 \times g \times t^2 + v_0 \times \sin \alpha \times t + \rm cste_6$ d'où $\scriptstyle\boxed{\scriptstyle z(t) = -1/2 \times g\times t^2 + v_0 \times \sin \alpha \times t + \rm OA~~(2)}$

Équation de la trajectoire

Grâce à ces deux équations, on peut obtenir l'équation de la trajectoire : $(1)$ Nous donne $t = \dfrac{y}{v_0\times \cos \alpha}$.

On remplace dans $(2)$ :

$$\boxed{ z(y) = -1/2 \times g \times \frac{y^2}{v_0^2 \times \cos^2 \alpha} + \tan \alpha \times y + \rm OA}$$

EN RÉSUMÉ