Suites 2

Définition

Une suite arithmétique est une suite où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant (ou en retranchant) le même réel r. On a alors $u_{n + 1} = u_n + r$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Ce réel r est appelé la raison de la suite arithmétique.

Terme général

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = u_0 + nr$.

Monotonie d'une suite arithmétique

La monotonie d'une suite arithmétique dépend du signe de sa raison :

• Si $r > 0$, alors la suite est strictement croissante.
• Si $r < 0$, alors la suite est strictement décroissante.
• Si $r = 0$, alors la suite est constante.

Somme des premiers termes

Pour calculer la somme des premiers termes d'une suite arithmétique, on utilise la formule suivante.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$S = u_0 + u_1 + \ldots + u_n = (n + 1) \frac{u_0 + u_n}{2}$

Le raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence comporte 3 phases :

Les trois phases de la récurrence

• Initialisation : vérifier la propriété au premier rang (souvent $n = 0$ ou $n = 1$) ;
• Hérédité : on suppose que la propriété est vraie pour un certain rang $n$ et on la démontre pour le rang $n + 1$. C'est l'étape fondamentale de la récurrence.
• Conclusion.

Convergence d'une suite

On étudie la limite de ${u}_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. On a deux cas possibles :

Types de comportement d'une suite

• Si la limite est finie, alors $({u}_{n})$ converge ;
• Si la limite est infinie ou n'existe pas, alors $({u}_{n})$ diverge.

Étude de la limite d'une suite

Pour étudier la limite d'une suite, on dispose de plusieurs méthodes et outils mathématiques.

Méthodes d'étude des limites

• Utiliser les théorèmes sur les limites de fonctions ;
• Utiliser les propriétés des limites de suites géométriques ;
• Utiliser les opérations sur les limites ;
• Utiliser les théorèmes de majoration / minoration et de convergence monotone ;
• Encadrer la suite par deux suites qui ont la même limite (théorème des gendarmes).

Définition

Une suite géométrique est une suite où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par le même réel $q$. On a alors ${u}_{n + 1} = {u}_{n} \times q$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Ce réel $q$ est appelé la raison de la suite géométrique.

Terme général

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, ${u}_{n} = {u}_0 \times {q}^{n}$.

Monotonie d'une suite géométrique

Supposons que $u_0 > 0$ et $q > 0$.

• Si $q > 1$, alors la suite est strictement croissante.
• Si $q < 1$, alors la suite est strictement décroissante.
• Si $q = 1$, alors la suite est constante.

Limite d'une suite géométrique

Soit $(u_n)$ une suite géométrique telle que $u_n = u_0 \times q^n$ pour tout entier naturel $n$.

$u_n = u_0 \times q^n$ donc le $u_0$ ne joue un rôle que pour le signe de l'expression, pas dans la convergence.

Somme des premiers termes

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, si $q \neq 1$ :

$\mathrm S_n = {u}_0 + {u}_1 + \ldots + {u}_{n}$ $\displaystyle = {u}_0 \frac{1 - {q}^{n + 1}}{1 - q}$