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Le raisonnement par récurrence comporte 3 phases :
Une suite arithmétique est une suite où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant (ou en retranchant) le même réel r. On a alors $u_{n + 1} = u_n + r$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Ce réel r est appelé la raison de la suite arithmétique.
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = u_0 + nr$.
La monotonie d'une suite arithmétique dépend du signe de sa raison :
Pour calculer la somme des premiers termes d'une suite arithmétique, on utilise la formule suivante.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
$S = u_0 + u_1 + \ldots + u_n = (n + 1) \frac{u_0 + u_n}{2}$
Une suite géométrique est une suite où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par le même réel $q$. On a alors ${u}_{n + 1} = {u}_{n} \times q$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Ce réel $q$ est appelé la raison de la suite géométrique.
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, ${u}_{n} = {u}_0 \times {q}^{n}$.
Supposons que $u_0 > 0$ et $q > 0$.
Soit $(u_n)$ une suite géométrique telle que $u_n = u_0 \times q^n$ pour tout entier naturel $n$.
| Condition sur $q$ | Limite de $q^n$ | Limite de $u_n$ |
|---|---|---|
| $q > 1$ | $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} q^n = +\infty$ | $+\infty$ ou $-\infty$ selon le signe de $u_0$ |
| $q = 1$ | $u_n = u_0$ pour tout $n$ | $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = u_0$ |
| $-1 < q < 1$ | $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} q^n = 0$ | $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = 0$ |
| $q \leq -1$ | Pas de limite | Pas de limite |
$u_n = u_0 \times q^n$ donc le $u_0$ ne joue un rôle que pour le signe de l'expression, pas dans la convergence.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, si $q \neq 1$ :
$\mathrm S_n = {u}_0 + {u}_1 + \ldots + {u}_{n}$ $\displaystyle = {u}_0 \frac{1 - {q}^{n + 1}}{1 - q}$
On étudie la limite de ${u}_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. On a deux cas possibles :
Pour étudier la limite d'une suite, on dispose de plusieurs méthodes et outils mathématiques.