Schéma de Bernoulli - Loi binomiale

Propriétés fondamentales des probabilités

Événements particuliers

$\emptyset$ est l'événement impossible : $\rm{P}(\emptyset) = 0$. $\Omega$ est l'événement certain : $\rm{P}(\Omega) = 1$.

Propriétés générales

Pour $\rm{A}$ une partie de $\Omega$, $\rm 0 \leq P(A) \leq 1$ et $\rm P(A) + P(\bar{A}) = 1$ où $\rm \bar{A}$ est l'événement contraire.

Formule de l'union

Pour $\rm A$ et $\rm B$ deux parties de $\Omega$ :

$\rm P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$

Cas des événements incompatibles

Si les événements $\rm A$ et $\rm B$ sont incompatibles, c'est-à-dire que $\rm A\cap B = \emptyset$, alors :

$\rm P(A\cup B) = P(A) + P(B)$

Variable aléatoire

Soit $\rm E$ une expérience aléatoire d'univers $\Omega$.

Une variable aléatoire $\rm X$ est une application qui à un événement élémentaire de $\Omega$ associe un nombre réel.

Loi de probabilité

Soit X une variable aléatoire dont l'ensemble des valeurs prises est $\{x_1~ ; x_2~ ; \ldots ~; x_n \}$.

Donner la loi de probabilité de $\rm X$, c'est donner la probabilité $p_i= \mathrm{P}(\{\mathrm X = x_i \})$ où $\{\mathrm X = x_i \}$ est constitué de tous les événements élémentaires dont l'image par $\rm X$ est $x_i$.

Les nombres $p_i$ vérifient :

$0 \leq p_i \leq 1$ et $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} p_i = 1$

Espérance, variance et écart-type

Espérance

L'espérance de $X$ est :

$\displaystyle \mathrm{E(X)} = \sum_{i=1}^{n} x_i \mathrm{P(X} = x_i)$

Variance

La variance de $\rm X$ est :

$\displaystyle\mathrm{V(X)} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} \mathrm{P(X} = x_i) {(x_i - \rm E(X))}^2$

Écart-type

L'écart-type de $\rm X$ est :

$\rm \sigma(X) = \sqrt{\mathrm{V(X)}}$

Loi de Bernoulli

Soit $\rm E$ une épreuve comportant 2 issues (succès ou échec). On note $p$ la probabilité du succès et $\rm X$ la variable aléatoire qui est égale à $1$ en cas de succès et $0$ sinon.

On dit que $\rm X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ et on a :

Caractéristiques de la loi de Bernoulli

Espérance : $\mathrm{E(X)} = p$

Variance : $\mathrm{V(X)} = pq$ où $q = 1 - p$

Écart-type : $\sigma(\mathrm X) = \sqrt{p q}$

Loi binomiale

Soit $\rm E$ une épreuve de Bernoulli et $p$ la probabilité du succès. On répète $n$ fois, de manière indépendante, l'épreuve $\rm E$ et on note $\rm X$ la variable aléatoire égale au nombre de succès (compris entre 0 et $n$).

On dit que $\rm X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ (notée $\mathrm B(n ; p)$).

Caractéristiques de la loi binomiale

Pour tout $k \in [0~ ; n]$, on a :

Probabilité : $\mathrm{P(X} = k) = \binom{n}{k} {p}^{k} {q}^{n - k}$

Espérance : $\mathrm{E(X)} = np$

Variance : $\mathrm{V(X)} = npq$ où $q = 1 - p$

Écart-type : $\sigma(\mathrm X) = \sqrt{n p q}$