Probabilités conditionnelles – Niveau 2

Probabilité conditionnelle

Soit A et B deux événements (A de probabilité non nulle). La probabilité conditionnelle de l'événement B sachant que l'événement A est réalisé est :

$$\rm P_{A} (B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$

Représentation par arbre pondéré

On peut représenter la situation d'une expérience aléatoire par un arbre pondéré.

Dans cet exemple, on a :

$\rm P_A (B) = 0,6$   $\rm P_A (\bar{B}) = 0,4$   $\rm P_{\bar{A}} (B) = 0,7$   $\rm P_{\bar{A}} (\bar{B}) = 0,3$

Calcul des probabilités d'intersection

On a aussi, par exemple :

$\rm P(A \cap B) = P_A (B) \times P(A) = 0,6 \times 0,2 = 0,12$

et

$\rm P(\bar{A} \cap B) = P_{\bar{A}} (B) \times P(\bar{A}) = 0,7 \times 0,8 = 0,56$

Formule des probabilités totales

Soient A et B deux événements tels que A, $\rm \bar{A}$, B et $\rm \bar{B}$ sont de probabilités non nulles. A ∩ B et $\rm \bar{A} \cap B$ forment une partition de l'événement B et on a :

$$\rm P(B) = P(A \cap B) + P( \bar{A} \cap B)$$

$$\rm P(B) = {P}_A (B) \times P(A) + P_{\bar{A}} (B) \times P(\bar{A})$$

Exemple d'application

On a vu que :

$\rm P(A \cap B)$ $\rm = {P}_A (B) \times P(A)$ $= 0,6 \times 0,2 = 0,12$

et

$\rm P(\bar{A} \cap B)$ $\rm = {P}_{\bar{A}} (B) \times P(\bar{A})$ $= 0,7 \times 0,8 = 0,56$

D'après la formule des probabilités totales :

$\rm P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)$ $= 0,12 + 0,56 = 0,68$