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Primitives

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Définition d’une primitive

Définition

On considère une fonction $f$ continue sur l'intervalle $\rm I$. La fonction $\rm F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $\rm I$ si pour tout $x \in \rm I$, $\mathrm F'(x) = f(x)$.

L'ensemble des primitives de la fonction $f$ sur $\rm I$ est alors composé des fonctions définies sur $\rm I$ par $\mathrm F(x) + k$ avec $k$ un nombre réel.

Exemple
Exemple

Les primitives de la fonction $f$ définies par $f(x) = {x}^2$ sur $]- \infty~ ; + \infty[$ sont les fonctions $\displaystyle \mathrm F(x) = \frac{{x}^3}{3} + k$ avec $k$ un nombre réel.

Théorème

Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives.

EN RÉSUMÉ

Tableau de primitives

Tableau de primitives

Fonctions Primitives Intervalles
$x \mapsto a$ $x \mapsto ax + b$ $\rm I= \mathbb R$, $(a b) \in \mathbb R^2$
$x \mapsto x^n$ $\displaystyle x \mapsto \frac{x^{n+1}}{n + 1} + c$ $n \in \mathbb Z\backslash\{-1\}$, $c\in \mathbb R$
Si $n \geq 0$, $\rm I = \mathbb R$
Si $n < 0$, $\rm I = ] -\infty  0[$ ou $]0  +\infty[$
$x \mapsto \cos(x)$ $x \mapsto \sin(x) +c$ $\rm I = \mathbb R$, $c \in \mathbb R$
$x \mapsto \cos(ax + b)$ $\displaystyle x \mapsto \frac{1}{a}\sin(ax + b) + c$ $\rm I = \mathbb R$, $(a b c)\in \mathbb R^3$, $a \neq 0$
$x \mapsto \sin(x)$ $x \mapsto - \cos(x) + c$ $\rm I = \mathbb R$, $c \in \mathbb R$
$x \mapsto \sin(ax + b)$ $\displaystyle x \mapsto -\frac{1}{a}\cos(ax + b) + c$ $\rm I = \mathbb R$, $(a b c)\in \mathbb R^3$, $a \neq 0$
$\displaystyle x \mapsto \frac{1}{x}$ $x \mapsto \ln(x) + c$ $\rm I = ]0 +\infty[$, $c \in \mathbb R$
$x \mapsto \mathrm e^x$ $x \mapsto \mathrm e^x + c$ $\rm I = \mathbb R$, $c \in \mathbb R$
$u' \times u^n$ $\displaystyle \frac{u^{n+1}}{n+1} + \rm C$ $n \in \mathbb N$ ou si $n \in \mathbb Z^- \backslash\{-1\}$, $u(x) \neq 0$
$u' \times \mathrm e^u$ $\mathrm e^u+ \mathrm C$  
$\displaystyle \frac{u'}{u}$ $\ln(u)+ \mathrm C$ Intervalle tel que $u(x) > 0$

Primitives usuelles

Ce tableau présente les primitives des fonctions les plus couramment utilisées en mathématiques. Pour chaque fonction, on trouve sa primitive correspondante ainsi que l'intervalle de définition approprié.

Primitives avec composition de fonctions

Les dernières lignes du tableau montrent les primitives de fonctions composées qui utilisent la règle de dérivation en chaîne. Ces formules sont particulièrement utiles pour calculer les primitives de fonctions plus complexes où $u$ représente une fonction de $x$.

EN RÉSUMÉ

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