Limite de fonctions

Limite d'une fonction

On peut étudier la limite d'une fonction en un point de son intervalle de définition ou aux bornes de son ensemble de définition (valeur finie ou à l'infini). On a deux cas possibles :

• la limite existe et est finie ;
• la limite est infinie ou n'existe pas.

Étude de la limite d'une fonction

Pour étudier la limite d'une fonction, on peut :

• Utiliser les propriétés sur les limites des fonctions de référence ;
• Utiliser le nombre dérivé en un point ;
• Utiliser les opérations sur les limites ;
• Utiliser les théorèmes de majoration / minoration ;
• Encadrer la fonction par deux fonctions qui ont la même limite (théorème des gendarmes).

Limites des fonctions usuelles

Fonction carrée

La fonction carrée présente les limites suivantes aux bornes de son domaine de définition.

$$\lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty$$ ; $$\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$$

Fonction cube

La fonction cube a un comportement asymptotique différent selon la direction d'approche de l'infini.

$$\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$$ ; $$\lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$$

Fonction inverse

La fonction inverse présente des comportements particuliers en 0 et à l'infini, avec des limites latérales distinctes.

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$$ ; $$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$$ ; $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$$ ; $$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$$

Fonction logarithme népérien

Le logarithme népérien est défini uniquement sur les réels strictement positifs et présente des propriétés de croissance comparée importantes.

$$\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$$ ; $$\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$$

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$$ pour tout $n\in \mathbb{N}^*$ (croissances comparées)

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle croît plus rapidement que toute fonction polynomiale, ce qui se traduit par les propriétés de croissances comparées.

$$\lim_{x \to -\infty} \mathrm e^x = 0$$ ; $$\lim_{x \to +\infty} \mathrm e^x = +\infty$$

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm e^x}{x^n} = +\infty$$ pour tout $n\in \mathbb{N}^*$ (croissances comparées)

Composée de limites

Pour $a$, $b$ et $l$ des nombres réels, $-\infty$ ou $+\infty$, la règle de composition des limites s'énonce ainsi.

Si $$\lim_{x \to a} u(x) = b$$ et $$\lim_{y \to b} f(y) = l$$, alors $$\lim_{x \to a} f(u(x)) = l$$

$$\lim_{x \to +\infty} -4x = -\infty$$ et $$\lim_{y \to -\infty} \mathrm e^y = 0$$ donc $$\lim_{x \to +\infty} \mathrm e^{-4x} = 0$$

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0^+$$ et $$\lim_{y \to 0^+} \ln(y) = -\infty$$ donc $$\lim_{x \to +\infty} \ln\left(\frac{1}{x}\right) = -\infty$$

Asymptote horizontale

Elle existe lorsque la limite quand $x$ tend vers $\pm \infty$ est finie (un réel $k$). L'asymptote horizontale a alors pour équation $y = k$ en $\pm \infty$.

Pour $\displaystyle f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 5}$, $\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 2$.

La droite d'équation y = 2 est asymptote horizontale à la courbe représentative de f en $-\infty$ et en $+\infty$.

Asymptote verticale

Elle existe lorsque la limite quand $x$ tend vers $k$ (une valeur interdite) est infinie ($\pm \infty$). L'asymptote verticale a alors pour équation $x = k$.

Pour $\displaystyle g(x) =\frac{1}{x-3}$, $\displaystyle\lim_{x \to 3} g(x)$ = $\pm \infty$.

La droite d'équation $x = 3$ est asymptote verticale à la courbe représentative de $g$.