Fonction exponentielle 3 – Analytique

Définition

La fonction exponentielle est la fonction $x \mapsto \mathrm e^{x}$. Elle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et strictement positive sur l'ensemble des nombres réels. La fonction exponentielle est sa propre dérivée.

Propriétés

Propriété fondamentale

$$\mathrm e^0 = 1$$

Relation avec le logarithme népérien

Pour tout nombre réel $a$ et tout nombre réel strictement positif $b$, on a :

$$\mathrm e^{a} = b \Leftrightarrow a = \ln(b)$$

Propriétés algébriques

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ :

• $\mathrm e^{a + b} = e^{a} \times \mathrm e^{b}$
• $\mathrm e^{-a} = \frac{1}{\mathrm e^{a}}$
• $\displaystyle \mathrm e^{a - b} = \frac{e^{a}}{\mathrm e^{b}}$
• ${(\mathrm e^{a})}^{n} = \mathrm e^{n a}$ ($n$ entier relatif)

Dérivée de $\mathrm e^u$

Pour une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $\rm I$, $\mathrm e^{u}$ est dérivable sur $\rm I$ et $(\mathrm e^{u})' = u' \times \mathrm e^{u}$ sur cet intervalle.

Limites

Limite en $-\infty$

La limite de la fonction exponentielle quand $x$ tend vers $-\infty$ est :

$\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \mathrm e^{x} = 0^+$

Limite en $+\infty$

La limite de la fonction exponentielle quand $x$ tend vers $+\infty$ est :

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \mathrm e^{x} = + \infty$

On en déduit l'existence d'une asymptote horizontale en $-\infty$ qui a pour équation $y = 0$.

Croissances comparées de fonctions

Pour tout entier naturel $n$, nous avons la propriété suivante :

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{\mathrm e^{x}}{x^n} = + \infty$ pour tout entier naturel $n$

Ainsi, à l'infini, l'exponentielle l'emporte sur la fonction $x \mapsto x^n$, pour tout entier naturel $n$.

Propriétés de la fonction exponentielle

Continuité et croissance

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc pour tous les nombres réels $a$ et $b$ :

$\mathrm e^{a} = \mathrm e^{b} \Leftrightarrow a = b$
$\mathrm e^{a} < \mathrm e^{b} \Leftrightarrow a < b$

Relation avec le logarithme népérien

La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien, donc pour tout nombre réel $a$ et tout nombre réel strictement positif $b$, on a :

$\mathrm e^{a} = b \Leftrightarrow a = \ln(b)$