Fonction exponentielle 2 – Algébrique

Définition

La fonction exponentielle est la fonction $x \mapsto \mathrm e^{x}$. Elle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et strictement positive sur l'ensemble des nombres réels. La fonction exponentielle est sa propre dérivée.

Propriétés

Propriété fondamentale

Relation avec le logarithme népérien

Pour tout nombre réel $a$ et tout nombre réel strictement positif $b$, on a :

Propriétés algébriques

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ :

• $\mathrm e^{a + b} = e^{a} \times \mathrm e^{b}$
• $\mathrm e^{-a} = \frac{1}{\mathrm e^{a}}$
• $\displaystyle \mathrm e^{a - b} = \frac{e^{a}}{\mathrm e^{b}}$
• ${(\mathrm e^{a})}^{n} = \mathrm e^{n a}$ ($n$ entier relatif)

Dérivée de $\mathrm e^u$

Pour une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $\rm I$, $\mathrm e^{u}$ est dérivable sur $\rm I$ et $(\mathrm e^{u})' = u' \times \mathrm e^{u}$ sur cet intervalle.

Limites

Limite en $-\infty$

La limite de la fonction exponentielle quand $x$ tend vers $-\infty$ est :

$\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \mathrm e^{x} = 0^+$

Limite en $+\infty$

La limite de la fonction exponentielle quand $x$ tend vers $+\infty$ est :

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \mathrm e^{x} = + \infty$

On en déduit l'existence d'une asymptote horizontale en $-\infty$ qui a pour équation $y = 0$.

Croissances comparées de fonctions

Pour tout entier naturel $n$, nous avons la propriété suivante :

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{\mathrm e^{x}}{x^n} = + \infty$ pour tout entier naturel $n$

Ainsi, à l'infini, l'exponentielle l'emporte sur la fonction $x \mapsto x^n$, pour tout entier naturel $n$.

Propriétés de la fonction exponentielle

Continuité et croissance

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc pour tous les nombres réels $a$ et $b$ :

$\mathrm e^{a} = \mathrm e^{b} \Leftrightarrow a = b$
$\mathrm e^{a} < \mathrm e^{b} \Leftrightarrow a < b$

Relation avec le logarithme népérien

La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien, donc pour tout nombre réel $a$ et tout nombre réel strictement positif $b$, on a :

$\mathrm e^{a} = b \Leftrightarrow a = \ln(b)$