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Tableau des dérivées usuelles
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Fonction |
Fonction dérivée |
Conditions, intervalle |
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$x \mapsto c$ |
$x \mapsto 0$ |
$\mathbb R$ |
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$x \mapsto ax + b$ |
$x \mapsto a$ |
$\mathbb R$ |
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$x \mapsto x^n$ |
$x \mapsto nx^{n-1}$ |
$n \in \mathbb N^*$, $x \in \mathbb R$ |
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$\displaystyle x \mapsto \frac{1}{x^n}$ |
$\displaystyle x\mapsto - \frac{n}{x^{n+1}}$ |
$n \in \mathbb N^*$, $x \in \mathbb R$ |
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$x \mapsto \cos (x)$ |
$x \mapsto -\sin(x)$ |
$\mathbb R$ |
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$x \mapsto \cos (ax + b)$ |
$x \mapsto -a \sin (ax + b) + c$ |
$\mathrm I = \mathbb R$, |
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$x \mapsto \sin (x)$ |
$x \mapsto \cos(x)$ |
$\mathbb R$ |
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$x \mapsto \sin (ax + b)$ |
$x \mapsto a \cos (ax + b) + c$ |
$\mathrm I = \mathbb R$, |
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$x \mapsto \mathrm e^x$ |
$x \mapsto \mathrm e^x$ |
$\mathbb R$ |
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$x \mapsto \ln (x)$ |
$\displaystyle x \mapsto \frac{1}{x}$ |
$\mathbb R^*_+$ |
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$\mathrm e^u$ |
$u' \mathrm e^u$ |
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$(u^n)$ |
$nu'u^{n-1}$ |
$n \in \mathbb N$ ou si $n \in \mathbb Z^-$, $u(x) \neq 0$ |
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$\ln(u)$ |
$\displaystyle \frac{u'}{u}$ |
${\rm I}$ où $u$ est strictement positive |
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$x \mapsto (g \circ f)(x) = g(f(x))$ |
$x \mapsto(g \circ f)'(x) = (g' \circ f)(x)\times f'(x) = g'(f(x))\times f'(x)$ |
$f$ dérivable sur ${\rm I}$, $f({\rm I}) \subset J$ intervalle, $g$ dérivable sur ${\rm J}$ |
Fonctions de base
Ce tableau présente les dérivées usuelles des fonctions les plus couramment utilisées en mathématiques. Les fonctions constantes ont une dérivée nulle, tandis que les fonctions linéaires ont une dérivée égale au coefficient directeur.
Fonctions puissances
Pour les fonctions puissances $x^n$, la dérivée suit la règle $nx^{n-1}$. Cette règle s'applique également aux fonctions inverses de la forme $\frac{1}{x^n}$.
Fonctions trigonométriques
Les fonctions trigonométriques ont des dérivées particulières : la dérivée de $\cos(x)$ est $-\sin(x)$, et la dérivée de $\sin(x)$ est $\cos(x)$. Pour les fonctions composées comme $\cos(ax + b)$ et $\sin(ax + b)$, il faut appliquer la règle de dérivation en chaîne.
Fonctions exponentielles et logarithmiques
La fonction exponentielle $\mathrm e^x$ a la propriété remarquable d'être sa propre dérivée. La fonction logarithme $\ln(x)$ a pour dérivée $\frac{1}{x}$ sur l'intervalle $\mathbb R^*_+$.
Dérivation des fonctions composées
Les dernières lignes du tableau présentent les règles de dérivation pour les fonctions composées. La règle de dérivation en chaîne $(g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \times f'(x)$ est fondamentale pour dériver des fonctions complexes.
