Équations et fonctions polynômes du second degré

Résolution d'équations du second degré

Forme générale et discriminant

Soit $f (x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. Le discriminant est défini par :

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Cas selon le signe du discriminant

Cas 1 : Discriminant négatif

Si $\Delta < 0$, l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ n'a pas de solution réelle.

Cas 2 : Discriminant nul

Si $\Delta = 0$, l'équation $ax^2 + b x + c = 0$ a une solution double :

$$x_0 = -\frac{b}{2a}$$

Cas 3 : Discriminant positif

Si $\Delta > 0$, l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ a deux solutions distinctes :

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \text{ et } x_2= \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Exemples d'application

$-2x^2 + 3x - 7 = 0$

$\Delta = 9 - 56 = - 47$. Comme $\Delta < 0$, on a $S = \emptyset$.

$\displaystyle \frac{1}{4} x^2 - \frac{4}{5}x + \frac{16}{25} = 0$

$\displaystyle \Delta = \frac{16}{25} - 4 \times \frac{1}{4} \times \frac{16}{25}= 0$

$\displaystyle {x}_0 = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{4}} = \frac{4}{5} \times \frac{2}{1} = \frac{8}{5}$

Donc $\displaystyle S = \{\frac{8}{5}\}$.

$-2x^2 + 3x + 5 = 0$

$\Delta = 9 + 40 = 49 = 7^2$

$\displaystyle x_1 = \frac{-3-7}{-4}= \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ et $\displaystyle x_2 = \frac{-3+7}{-4} = -1$

Donc $\displaystyle S = \{-1 ; \frac{5}{2}\}$.

Relations entre les racines

Si $\Delta > 0$, l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) admet 2 racines distinctes.

En notant $S = x_1 + x_2$ leur somme et $P = x_1 \times x_2$ leur produit, on a :

$$S = -\frac{b}{a} \text{ et } P = \frac{c}{a}$$

Si on connaît une racine (évidente ou donnée), on peut donc en déduire la deuxième.

Résolution d'une inéquation du second degré

Résoudre une inéquation du second degré revient à rechercher le signe d'un trinôme.

Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$, et $\Delta = b^2 - 4ac$.

Premier cas : $\Delta < 0$

Le signe de $f(x)$ est celui de $a$ pour tout réel $x$. La fonction $f$ ne s'annule jamais.

Deuxième cas : $\Delta = 0$

Le signe de $f(x)$ est celui de $a$ pour tout réel $x$ différent de $\displaystyle -\frac{b}{2a}$.

La fonction $f$ s'annule en $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$.

Troisième cas : $\Delta > 0$

$f(x)$ a deux racines réelles distinctes. $\displaystyle x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\displaystyle x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$. On a $x_1 < x_2$.

• Pour $x \in ]-\infty ; x_1[ \cup ]x_2 ; +\infty[$, $f(x)$ est du signe de $a$ (à l'extérieur des racines).
• Pour $x \in ]x_1 ; x_2[$, $f(x)$ est du signe de $-a$ (entre les racines).
• Pour $x = x_1$ et $x = x_2$, $f(x)$ s'annule.

Application pratique

$-2x^2 + 3x + 1 \leq -4 \Leftrightarrow -2x^2 + 3x + 5 \leq 0$.

On pose $f(x) = -2x^2 + 3x + 5$ et on étudie son signe.

$\Delta = 9 + 40 = 49 = 7^2$. $\displaystyle x_1 = \frac{-3-7}{-4} = \frac{5}{2}$ et $\displaystyle x_2 = \frac{-3+7}{-4} = -1$.

$a = -2$ donc pour tout $x \in ]-\infty ; -1[ \cup ]\frac{5}{2} ; +\infty[$, $f(x)$ est négatif.

Pour tout $\displaystyle x \in ]-1 ; \frac{5}{2}[$, $f(x)$ est positif.

Pour $\displaystyle x = \frac{5}{2}$ ou $x = -1$, $f(x)$ s'annule.

Conclusion de l'exemple

D'après ce que l'on a fait précédemment $f(x)$ est négatif ou nul sur $\displaystyle ]-\infty ; -1] \cup [\frac{5}{2} ; +\infty[$.

Donc $\displaystyle S = ]-\infty ; -1] \cup [\frac{5}{2} ; +\infty[$.