Concentration, loi des grands nombres

Inégalités et lois de convergence

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit $X$ une variable aléatoire admettant une espérance $\mu$ et une variance $V$.

Alors $\forall \epsilon >0$, nous avons :

$$P(|X-\mu|\geq \epsilon)\leq \frac{V}{\epsilon^2}$$

Inégalité de concentration

Si $M_n$ est la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de variance $V$, alors nous obtenons une inégalité plus précise.

$\forall \epsilon >0$, nous avons :

$$P(|M_n-\mu|\geq \epsilon)\leq \frac{V}{n\epsilon^2}$$

Loi faible des grands nombres

Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes admettant la même espérance $m$ et un même écart-type $\sigma$.

On pose : $M_n=\frac{X_1+…+X_n}{n}$.

Alors $\forall \epsilon >0$, nous avons :

$$\lim_{n\to +\infty}P(|M_n-m|\geq \epsilon)=0$$